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一元二次万程根的判别式及根与系数关系（讲义）
一、 知识点睛
1.
通过分析求根公式，我们发现b2 4ac决定了根的个数，因此b2 4ac被称作 根的
判别式，用符号记作 纟；当厶〉。时，方程有两个不相等的实数根（也叫有 两个解）;当4=0时，方程有两个相等的实数根（也叫有一个解）;当4<0时， 方程没有实数根（也叫无根或无解）.
2.
b c
从求根公式中我们还发现Xi X2 - , Xi X2 -,这a
a
两个式子称为根与系数 的关系，数学史上称为 注意：使用韦达定理的前提是
0.
二、 精讲精练
1. 方程x2 kx 1 0的根的情况是（ ）
A .方程有两个不相等的实数根 B.方程有两个相等的实数根 C.方程没有实数根 D .根的情况与k的取值有关
2. 如果关于x的方程x2 2x m 0 （m为常数）有两个相等的实数根，那么 m= ________ .
3. 若一元二次方程 x2 2x（kx 4） 6 0无实数根，则k的最小整数值是 __________ A. 1 A. 7, 4 5. 若x i = 2
B. 2 B. - , 2
2
C. 3
7
D. 4
-2
2X
4. 若xi, X2是一元二次方程2x2 7x 4的两根，贝U X1+X2与Xi X2的值分别是—
C
二
2
一次
2
方
、3是一元
0的一个根，贝U
a=__，该方程的另一个根x2=_ 6. 若 xi, X2 是方程 2x2 4x 3 (1)丄-；
0的两个根，不解方程, 求下列各式的值.
x1 x2
(3) (xi 1)(X2 1) ；
(2) Xi
2
X2
(4) Xi X2 X1X2 ;
(5) ' ' ；
x1 x2
( 6)(Xi X2)2 .
1 1
7. 若关于x的方程x2 2x m2 0的两根之差的绝对值是2真,m= _______________ 8. 若 p2 3p 5
0 , q2 3q 5 0,且 q,贝U 二 2
q
P
_______
9.若Xi, X2是某个 兀二次方程是
兀二次方程的两根，且Xi X2
；若 Xi X2
-
1 , Xi X2
3，则这个一
, Xi X2
2
3，则这个 兀二次方程
是 _____________
10. 如果把一元二次方程x2 3x 1 0的两根各加上1作为一个新一元二次方程 的两根，那么这个新一元二次方程是 _______________________ . 11. 若关于x的方程X2 2x a 1 0有两个负根，则a的取值范围是 _______
12. 已知a, b, c为三角形的三边长，且关于x的方程
（c b）x2 2（b a）x a b 0有两个相等的实数根.试判断此三角形的形状. 13. 已知关于x的方程(m 1)x2 x 2 0 .若xi, x2是该方程的两个根，且
1
xjx2 %X22 -,求实数m的值.
8
14. 已知a, b是一元二次方程x2 2x 1 0的两个实数根，求代数式 a b a b 2 ab 的值. 15. 已知关于x的方程x2
2(m 2)x m2 4
0有两个实数根，且这两根的平方
和比两根的积大21,求m的值，并解此方程.
【参考答案】
1. A 2. 1 3. B 4. D
5. -4, 2
.3
6.解：由原 、方程知：
a=2, b=4, c=- 3,
…X2 , X1 X2
3—
1 X2
2
.
(1)原式 x X
2
2 4 ；
5 x(2) 7;
(3) 1x2 3 3 _ .
22
，
(4) 3; (5) 14
19
3
(6) 10.
2 ,
亠 2 7. 2 8.
25
9.
x x 3 0,
2x x 6 0.
10. x2 5x 3 0.
11. 1 a < 2
12. 此三角形为等腰三角形且不是等边三角形. 13. m 5 14. -1 15. m 1, x_! 1, x2 5.
本文来源：https://www.wddqxz.cn/9ac0943f81eb6294dd88d0d233d4b14e84243eee.html
2022-12-15
