三种常见的勾股数

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三种常见的勾股数

我们知道，如果a、b、c是直角三角形的三边，则由勾股定理，得abc，反之，若三角形的三边a、b、c满足abc，则该三角形是直角三角形．与此相类似，如果三个正整数a、b、c满足abc，则称a、b、c为勾股数，记为（a，b，c）．勾股数有无数多组，下面向同学们介绍三种：

一、三数为连续整数的勾股数

（3，4， 5）是我们所熟悉的一组三数为连续整数的勾股数，除此之外是否还有第二组或更多组呢？

设三数为连续整数的勾股数组为（x－１，x，x＋１），则由勾股数的定义，得

2

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x12x2x12，解得x＝４或x＝０（舍去），故三数为连续整数的勾股数只有一组

（３，４，５）；

二、后两数为连续整数的勾股数 易知：（５，１２，１３），（９，４０，４１），（１１３，６３３８，６３８５），…，都是勾股数，如此许许多多的后两数为连续整数的勾股数，它的一般形式究竟是什么呢？

设后两数为连续整数的勾股数组为（x，y，y＋１），则

x2y2y1，

2

整理，得x2y1，（＊）

显然，x不能是偶数，否则，当x为偶数时，（＊）式的左边是偶数，而右边是奇数，矛盾．故x不能是偶数，因此，

取x＝２m＋１，则y＝2m2m（mＮ），

故后两数为连续整数的勾股数组是 （２m＋１，2m2m，2m2m＋１）； 分别取m＝１，２，３，…就得勾股数组（３，４，５），（５，１２，１３），（７，２４，２５），…

三、前两数为连续整数的勾股数 你知道（２０，２１，２９），（１１９，１２０，１６９），（４０５９，４０６０，５７４１）…，这些前两数为连续整数的勾股数组是怎样构造出来的吗？下面我们仿照后两数为连续整数的勾股数组的导出老进行推导．

设前两数为连续整数的勾股数组为（x，x＋１，y），则

2

2

2

2

x2x1y2（＊）

2

整理，得2x2x1＝y，化为

22

2x122y2

1，即

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2x12y2x12y＝－１，

1212＝－１， 又

， 12＝－１（ｎＮ）故取2x12y＝12，2x12y＝12∴12

2n1

2n1

2n1



2n1

，

解之，得x＝

1

〔124



2n1

＋12



2n1

－２〕，y＝

2

〔124



2n1

－

12

2n1

〕，

1

故前两数为连续整数的勾股数组是（〔12

4

〔12



2n1

＋12



2n1

－２〕，

1

4



2n1

＋12



2n1

－２〕＋１，

2

〔124



2n1

－12



2n1

〕）．

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