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第一章 运动的描述 匀变速直线运动的研究
1、 机械运动：一个物体相对于另一物体位置的改变（平动、转动、直线、曲线、圆周）
运动的描述典型例题：
【例1】物体M从A运动到B，前半程平均速度为v1，后半程平均速度为v2，那么全程的平均速度是：（ ）
2
2v1v2v12v2
A．（v1+v2）/2 B．v1v2 C． D．
v1v2v1v2
【例2】某人划船逆流而上，当船经过一桥时，船上一小木块掉在河水里，但一直航行至上游某处时此人才发
现，便立即返航追赶，当他返航经过1小时追上小木块时，发现小木块距离桥有5400米远，若此人向上和向下航行时船在静水中前进速率相等。试求河水的流速为多大？
1
【例3】一物体做匀变速直线运动，某时刻速度大小为4m/s，经过1s后的速度的大小为10m/s，那么在这1s内，物
体的加速度的大小可能为
【例4】关于速度和加速度的关系，下列说法中正确的是（ ）
A．速度变化越大，加速度就越大 B．速度变化越快，加速度越大 C．加速度大小不变，速度方向也保持不变
D．加速度大小不断变小，速度大小也不断变小 匀变速直线运动规律 1、常用的结论
①Δs=aT 2，即任意相邻相等时间内的位移之差相等。可以推广到sm-sn=(m-n)aT 2
②vt/2 vs/2
v0vts
，某段时间的中间时刻的即时速度等于该段时间内的平均速度。 2t
2v0vt2
，某段位移的中间位置的即时速度公式（不等于该段位移内的平均速度）。 2
可以证明，无论匀加速还是匀减速，都有vt/2vs/2。
2．初速为零的匀变速直线运动
①前1秒、前2秒、前3秒……内的位移之比为1∶4∶9∶…… ②第1秒、第2秒、第3秒……内的位移之比为1∶3∶5∶……
③前1米、前2米、前3米……所用的时间之比为1∶2∶3∶……
④第1米、第2米、第3米……所用的时间之比为1∶21∶（32）∶…… 对末速为零的匀变速直线运动，可以相应的运用这些规律 3、解题方法指导： 解题步骤：
（1）确定研究对象。（2）明确物体作什么运动，并且画出运动示意图。（3）分析研究对象的运动过程及特点，合理选择公式，注意多个运动过程的联系。（4）确定正方向，列方程求解。（5）对结果进行讨论、验算。
解题方法：
（1）公式解析法：假设未知数，建立方程组。本章公式多，且相互联系，一题常有多种解法。要熟记每个公式的特点及相关物理量。
（2）图象法：如用v—t图可以求出某段时间的位移大小、可以比较vt/2与vS/2，以及追及问题。用s—t图可求出任意时间内的平均速度。
（3）比例法：用已知的讨论，用比例的性质求解。
（4）极值法：用二次函数配方求极值，追赶问题用得多。
（5）逆向思维法：如匀减速直线运动可视为反方向的匀加速直线运动来求解。
综合应用例析
【例1】在光滑的水平面上静止一物体，现以水平恒力甲推此物体，作用一段时间后换成相反方向的水平恒力乙推物体，当恒力乙作用时间与恒力甲的作用时间相同时，物体恰好回到原处，此时物体的速度为v2，若撤去恒力甲的瞬间物体的速度为v1，则v2∶v1=?
思考：在例1中，F1、F2大小之比为多少？
【例2】一辆汽车沿平直公路从甲站开往乙站，起动加速度为2m/s2，加速行驶5秒，后匀速行驶2分钟，然后刹车，滑行50m，正好到达乙站，求汽车从甲站到乙站的平均速度？
匀加速 匀速 匀减速
s1 s2 s3
甲 t1 t2 t3 乙
2
【例3】一物体由斜面顶端由静止开始匀加速下滑，最初的3秒内的位移为s1，最后3秒内的位移为s2，若s2-s1=6米，s1∶s2=3∶7，求斜面的长度为多少？
（t-3）s
3s
【例4】物块以v0=4米/秒的速度滑上光滑的斜面，途经A、B两点，已知在A点时的速度是B点时的速度的2倍，由B点再经0.5秒物块滑到斜面顶点C速度变为零，A、B相距0.75米，求斜面的长度及物体由D运动到B的时间？
C
D
【例5】一质点沿AD直线作匀加速直线运动，如图，测得它在AB、BC、CD三段的时间均为t，测得位移AC=L1，BD=L2，试求质点的加速度？
A B C D
【例6】一质点由A点出发沿直线AB运动，行程的第一部分是加速度为a1的匀加速运动，接着做加速度为a2
的匀减速直线运动，抵达B点时恰好静止，如果AB的总长度为s，试求质点走完AB全程所用的时间t？
【例7】一个做匀加速直线运动的物体，连续通过两段长为s的位移所用的时间分别为t1、t2，求物体的加速度？
例8．某航空公司的一架客机，在正常航线上做水平飞行时，突然受到强大的垂直气流的作用，使飞机在10 s内下降高度为1800 m，造成众多乘客和机组人员的伤害事故，如果只研究在竖直方向上的运动，且假设这一运动是匀变速直线运动.
（1）求飞机在竖直方向上产生的加速度多大？
（2）试估算成年乘客所系安全带必须提供多大拉力才能使乘客不脱离座椅.
自由落体与竖直上抛运动
结论：时间对称性
速度大小对称性
注意：若物体在上升或下落中还受有恒空气阻力，则物体的运动不再是自由落体和竖直上抛运动，分别计算上升a上与下降a下的加速度，利用匀变速公式问题同样可以得到解决。 例题分析：
2
例1、 从距地面125米的高处，每隔相同的时间由静止释放一个小球队，不计空气阻力，g=10米/秒，当第11个
小球刚刚释放时，第1个小球恰好落地，试求：（1）相邻的两个小球开始下落的时间间隔为多大？（2）当第1个小球恰好落地时，第3个小球与第5个小球相距多远？
（拓展）将小球改为长为5米的棒的自由落体，棒在下落过程中不能当质点来处理，但可选棒上某点来研究。
3
例2、 在距地面25米处竖直上抛一球，第1秒末及第3秒末先后经过抛出点上方15米处，试求：（1）上抛的初速
度，距地面的最大高度和第3秒末的速度；（2）从抛出到落地所需的时间（g=10m/s2）
例3、 一竖直发射的火箭在火药燃烧的2S内具有3g的竖直向上加速度，当它从地面点燃发射后，它具有的最大
速度为多少？它能上升的最大高度为多少？从发射开始到上升的最大高度所用的时间为多少？（不计空气阻力。G=10m/s2）
直线运动的图象
匀变速直线运动的速度——时间图象（υ—t图）
a
vtv0
vtv0at t
Vt V △ .3 V
O α
0 t
(1) 截距表示初速度
(2) 比较速度变化的快慢，即加速度 (3) 交叉点表示速度相等 (4) 面积 = 位移 上正下负 v 【例1】 一个固定在水平面上的光滑物块，其左侧面是斜面AB，v p
A 右侧面是曲面AC。已知AB和AC的长度相同。两个小球p、q同时q q
从A点分别沿AB和AC由静止开始下滑，比较它们到达水平面所用 p 的时间
B
A.p小球先到 B.q小球先到 t o tq tp C.两小球同时到 D.无法确定 a’ a
/【例2】 两支完全相同的光滑直角弯管(如图所示)现有两只相同小球a和a 同时从管口l2 v2
由静止滑下，问谁先从下端的出口掉出？(假设通过拐角处时无机械能损失)
l1
l1 v1 【例3】一物体做加速直线运动，依次通过A、B、C三l2
v 点，AB=BC。物体在AB段加速度为a1，在BC段加速度为a2，v
v
vAvC
且物体在B点的速度为vB，则
C
2
A．a1> a2 B．a1= a2
C．a1< a2 D．不能确定
【例4】蚂蚁离开巢沿直线爬行，它的速度与到蚁巢中心的距离成反比，当蚂蚁爬到距巢中心的距离L1=1m的A点处时，速度是v1=2cm/s。试问蚂蚁从A点爬到距巢中心的距离L2=2m的B点所需的时间为多少？
o
t1 t2
t
4
相互作用
【例1】如图所示，两物体重力分别为G1、G2，两弹簧劲度系数分别为k1、k2，弹簧两端与物体和地面相连。用竖直向上的力缓慢向上拉G2，最后平衡时拉力F=G1+2G2，求该过程系统重力势能的增量。
F
G2
Δx2/ k2
G2
Δx2 k2 G1
G1 Δx1/ k
1
Δx1 k1
5
练习
1.关于两物体之间的弹力和摩擦力，下列说法中正确的是( ) A.有摩擦力一定有弹力 F B.摩擦力的大小与弹力成正比 C.有弹力一定有摩擦力
D.弹力是动力，摩擦力是阻力
2.如图，两本书A、B逐页交叉后叠放在一起并平放在光滑的水平桌面上，设每张书页的质量为5g，每本书均是200张，纸与纸之间的动摩擦因数为0.3,问至少要用多大的水平力才能将它们拉开?(g取10米/秒2) 3、弹簧秤的读数是它受到的合外力吗？
【例2】 小车向右做初速为零的匀加速运动，物体恰好沿车后壁匀速下滑。试分析下滑过程中物体所受摩擦力的方向和物体速度方向的关系。
a v相对
例3、下面关于摩擦力的说法正确的是：
A、阻碍物体运动的力称为摩擦力；
B、滑动摩擦力方向总是与物体的运动方向相反； C、静摩擦力的方向不可能与运动方向垂直； D、接触面上的摩擦力总是与接触面平行。
例4、 用一个水平推力F=Kt（K为恒量，t为时间）把一重为G的物体压在竖直的足够高的平整墙上，如图
所示，从t=0开始物体所受的摩擦力f随时间t变化关系是哪一个？
力的合成和分解
【例1物体受到互相垂直的两个力F1、F2的作用，若两力大小分别为53N、５ N，求这两个力的合力．
【例2将放在斜面上质量为m的物体的重力mg分解为下滑力F1和对斜面的压力F2，这种说法正确吗？
【例3将一个力分解为两个互相垂直的力，有几种分法？ 几种有条件的力的分解
①已知两个分力的方向，求两个分力的大小时，有唯一解。
②已知一个分力的大小和方向，求另一个分力的大小和方向时，有唯一解。 ③已知两个分力的大小，求两个分力的方向时，其分解不惟一。
④已知一个分力的大小和另一个分力的方向，求这个分力的方向和另一个分力的
6
大小时，其分解方法可能惟一，也可能不惟一。
用力的矢量三角形定则分析力最小值的规律：
①当已知合力F的大小、方向及一个分力F1的方向时，另一个分力F2取最小值的条件是两分力垂直。如图所示，F2的最小值为：F2min=F sinα
②当已知合力F的方向及一个分力F1的大小、方向时，另一个分力F2取最小值的条件是：所求分力F2与合力F垂直，如图所示，F2的最小值为：F2min=F1sinα
③当已知合力F的大小及一个分力F1的大小时，另一个分力F2取最小值的条件是：已知大小的分力F1与合力F同方向，F2的最小值为｜F－F1｜
【例4质量为m的木块在推力F作用下，在水平地面上做匀速运动．已知木块与地面间的动摩擦因数为µ，那么木块受到的滑动摩擦力为下列各值的哪个?
A．µmg Ｂ．µ（mg+Fsinθ） Ｃ．µ（mg+Fsinθ） Ｄ．Fcosθ
综合应用举例
【例5水平横粱的一端A插在墙壁内，另一端装有一小滑轮B，一轻绳的一端C固定于墙上，另一端跨过滑轮后悬挂一质量m=10 kg的重物，∠CBA＝30°，如图甲所示，则滑轮受到绳子的作用力为（g=10m/s2）
A．50N B．503N C．100N D．1003N
【例6已知质量为m、电荷为q的小球，在匀强电场中由静止释放后沿直线OP向斜下方运动（OP和竖直方向成θ角），那么所加匀强电场的场强E的最小值是多少？
【例7轻绳AB总长l，用轻滑轮悬挂重G的物体。绳能承受的最大拉力是2G，
A B 将A端固定，将B端缓慢向右移动d而使绳不断，求d的最大可能值。
【例8一根长2m，重为G的不均匀直棒AB，用两根细绳水平悬挂在天花板上，如图所示，求直棒重心C的位置。
【例9如图（甲）所示．质量为m的球放在倾角为α的光滑斜面上，试分析挡板AO与斜面间的倾角β为多大时，AO所受压力最小？
7
O
θ
Eq
mg
P
N
F1
G
F2
共点力作用下物体的平衡
一、物体的受力分析
1．明确研究对象 2．按顺序找力
3．只画性质力，不画效果力
4．需要合成或分解时，必须画出相应的平行四边形（或三角形）
【例1如下图所示，木块在水平桌面上，受水平力F1 =10N，F2 =3N而静止，当撤去F1后，木块仍静止，则此时木块受的合力为 （ ）
A．0 B．水平向右，3N C．水平向左，7N D．水平向右，7N
【例2】氢气球重10 N，空气对它的浮力为16 N，用绳拴住，由于受水平风力作用，绳子与竖直方向成30°角，则绳子的拉力大小是_____，水平风力的大小是____
1．静平衡问题的分析方法
【例3如图甲所示，一个半球形的碗放在桌面上，碗口水平，O点为其球心，碗的内表面及碗口是光滑的。一根细线跨在碗口上，线的两端分别系有质量为m1和m2的小球，当它们处于平衡状态时，质量为m1的小球与O点的连线与水平线的夹角为α=60°。两小
m2
球的质量比m为 （ ）
1
A．
33
B．
23
C．
32
D．
22
2．动态平衡类问题的分析方法
【例4 重G的光滑小球静止在固定斜面和竖直挡板之间。若挡板逆时针缓慢转
F到水平位置，在该过程中，斜面和挡板对小球的弹力的大小F1、F2各如何变化？
F（F1逐渐变小，F2先变小后变大。当F2⊥F1，即挡板与斜面垂直时，F2最小）
G
【例5如图7所示整个装置静止时，绳与竖直方向的夹角为30º。AB连线与OB垂直。若使带电小球A的电量加倍，带电小球B重新稳定时绳的拉力多大？
F
F
G
3．平衡中的临界、极值问题
当某种物理现象（或物理状态）变为另一种物理现象（或另一物理状态）时的转折状态叫临界状态。可理解成“恰好出现”或“恰好不出现”。
极限分析法：通过恰当地选取某个物理量推向极端（“极大”、“极小”、“极左”、“极右”）从而把比较隐蔽的临界现象（“各种可能性”）暴露出来，便于解答。
【例7跨过定滑轮的轻绳两端，分别系着物体A和物体B，物体A放在倾角为θ的斜面上（如图l—4－3（甲）所示），已知物体A的质量为m ，物体A与斜面的动摩擦因数为μ(μθ)，滑轮的摩擦不计，要使物体A静止在斜面上，求物体B的质量的取值范围。
【例8 用与竖直方向成α=30°斜向右上方，大小为F的推力把一个重量为G的木块压在粗糙竖直墙上保持静止。求墙对木块的正压力大小N和墙对木块的摩擦力大小f。 G
8
F α
4．整体法与隔离法的应用
【例9 有一个直角支架AOB，AO水平放置，表面粗糙， OB竖直向下，表面光滑。AO上套有小环P，OB上套有小环Q，两环质量均为m，两环由一根质量可忽略、不可伸长的细绳相连，并在某一位置平衡（如图所示）。现将P环向左移一小段距离，两环再次达到平衡，那么将移动后的平衡状态和原来的平衡状态比较，AO杆对P环的支持力FN和摩擦力f的变化情况是
A．FN不变，f变大 B．FN不变，f变小 C．FN变大，f变大 D．FN变大，f变小
O Q B
N
mg P
A F α
5．“稳态速度”类问题中的平衡
【例12物体从高空下落时，空气阻力随速度的增大而增大，因此经过一段距离后将匀速下落，这个速度称为此物体下落的稳态速度。已知球形物体速度不大时所受的空气阻力正比于速度v，且正比于球半径r，即
-423
阻力f=krv，k是比例系数。对于常温下的空气，比例系数k=3.4×10Ns/m。已知水的密度1.0103kg/m，重力加速度为g10m/s2。求半径r=0.10mm的球形雨滴在无风情况下的稳态速度。
6．绳中张力问题的求解
F1 α 【例13】重G的均匀绳两端悬于水平天花板上的A、B两点。静止时绳两端的切F
α P 线方向与天花板成α角。求绳的A端所受拉力F1和绳中点C处的张力F2。 A O O
C F G/G/
7 解答平衡问题时常用的数学方法
【例14】如图所示，在半径为R的光滑半球面正上方距球心h处悬挂一定滑轮，重为G的小球A用绕过滑轮的绳子被站在地面上的人拉住。人拉动绳子，在与球面相切的某点缓慢
F2
运动到接近顶点的过程中，试分析半球对小球的支持力N和绳子拉力F如何变化。
针对训练
1．把重20N的物体放在倾角为30°的粗糙斜面上，物体右端与固定在斜面上的轻弹簧相连接，如图所示，若物体与斜面间的最大静摩擦力为 12 N，则弹簧的弹力为（ ）
A．可以是22N，方向沿斜面向上 B．可以是2N．方向沿斜面向上 C．可以是2N，方向沿斜面向下 D．可能为零
2两个物体A和B，质量分别为M和m，用跨过定滑轮的轻绳相连， A静止于水平地面上，如图所示，不计摩擦力，A对绳的作用力的大小与地面对A的作用力的大小分别为（）
A．mg，（M－m）g B．mg，Mg C．（M－m）g， M g D．（M+m）g，（M－m）g
3如图所示，当倾角为45°时物体m处于静止状态，当倾角θ再增大一些，物体m仍然静止（绳子质量、滑轮摩擦不计）下列说法正确的是（ ）
A．绳子受的拉力增大
B．物林m对斜面的正压力减小 C．物体m受到的静摩擦力可能增大 D．物体m受到的静摩擦力可能减小
4．如图所示，两光滑硬杆AOB成θ角，在两杆上各套上轻环P、Q，两环用细绳相连，
9
现用恒力F沿OB方向拉环Q ，当两环稳定时细绳拉力为（ ）
A．Fsinθ B．F/sinθ C．Fcosθ D．F/cosθ
5．如图所示，一个本块A放在长木板B上，长木板B放在水平地面上．在恒力F作用下，长木板B以速度v匀速运动，水平弹簧秤的示数为T．下列关于摩擦力正确的是（ ）
A．木块A受到的滑动摩擦力的大小等于T B．木块A受到的静摩擦力的大小等于T
C．若长木板B以2v的速度匀速运动时，木块A受到的摩擦力大小等于2T D．若用2F的力作用在长木板上，木块A受到的摩擦力的大小等于T
6．如图所示，玻璃管内活塞P下方封闭着空气，P上有细线系住，线上端悬于O点，P的上方有高h的水银柱，如不计水银、活塞P与玻璃管的摩擦，大气压强为p0保持不变，则当气体温度升高时（水银不溢出）（ ）
A．管内空气压强恒为（p0十ρgh）(ρ为水银密度） B．管内空气压强将升高 C．细线上的拉力将减小 D．玻璃管位置降低
7．如图（甲）所示，将一条轻而柔软的细绳一端拴在天花板上的A点．另一端拴在竖直墙上的B点，A和B到O点的距离相等，绳的长度是OA的两倍。图（乙）所示为一质量可忽略的动滑轮K，滑轮下悬挂一质量为m的重物，设摩擦力可忽略，现将动滑轮和重物一起挂到细绳上，在达到平衡时，绳所受的拉力是多大？
8．长L的绳子，一端拴着半径为r，重为G的球，另一端固定在倾角为θ的光滑斜面的A点上，如图所示，试求绳子中的张力
牛顿运动定律
知识网络：
【例1】在一艘匀速向北行驶的轮船甲板上，一运动员做立定跳远，若向各个方向都用相同的力，则 （ ） A．向北跳最远 B．向南跳最远
C．向东向西跳一样远，但没有向南跳远 D．无论向哪个方向都一样远
【例2】某人用力推原来静止在水平面上的小车，使小车开始运动，此后改用较小的力就可以维持小车做匀速直线运动，可见（ ）
10
A．力是使物体产生运动的原因 B．力是维持物体运动速度的原因 C．力是使物体速度发生改变的原因 D．力是使物体惯性改变的原因
【例3】如图中的甲图所示，重球系于线DC下端，重球下再系一根同样的线BA，下面说法中正确的是（ ）
A．在线的A端慢慢增加拉力，结果CD线拉断 B．在线的A端慢慢增加拉力，结果AB线拉断 C．在线的A端突然猛力一拉，结果AB线拉断 D．在线的A端突然猛力一拉，结果CD线拉断
牛顿第三定律(12个字——等值、反向、共线 同时、同性、两体、)
【例4】汽车拉着拖车在水平道路上沿直线加速行驶，根据牛顿运动定律可知（ ）
A．汽车拉拖车的力大于拖车拉汽车的力 B．汽车拉拖车的力等于拖车拉汽车的力 C．汽车拉拖车的力大于拖车受到的阻力 D．汽车拉拖车的力等于拖车受到的阻力
【例5】甲、乙二人拔河，甲拉动乙向左运动，下面说法中正确的是 （ ） A．做匀速运动时，甲、乙二人对绳的拉力大小一定相等
B．不论做何种运动，根据牛顿第三定律，甲、乙二人对绳的拉力大小一定相等 C．绳的质量可以忽略不计时，甲乙二人对绳的拉力大小一定相等 D．绳的质量不能忽略不计时，甲对绳的拉力一定大于乙对绳的拉力
【例6】物体静止在斜面上，以下几种分析中正确的是 （ ） A．物体受到的静摩擦力的反作用力是重力沿斜面的分力 B．物体所受重力沿垂直于斜面的分力就是物体对斜面的压力
C．物体所受重力的反作用力就是斜面对它的静摩擦力和支持力这两个力的合力 D．物体受到的支持力的反作用力，就是物体对斜面的压力
【例7】物体静止于水平桌面上，则 （ ）
Ａ．桌面对物体的支持力的大小等于物体的重力，这两个力是一对平衡力 Ｂ．物体所受的重力和桌面对它的支持力是一对作用力与反作用力 Ｃ．物体对桌面的压力就是物体的重力，这两个力是同一种性质的力 Ｄ．物体对桌面的压力和桌面对物体的支持力是一对平衡的力 应用牛顿第二定律解题的步骤
①明确研究对象。可以以某一个物体为对象，也可以以几个物体组成的质点组为对象。设每个质点的质量为mi，对应的加速度为ai，则有：F合=m1a1+m2a2+m3a3+……+mnan
对这个结论可以这样理解：先分别以质点组中的每个物体为研究对象用牛顿第二定律：∑F1=m1a1，∑F2=m2a2，……∑Fn=mnan，将以上各式等号左、右分别相加，其中左边所有力中，凡属于系统内力的，总是成对出现并且大小相等方向相反的，其矢量和必为零，所以最后得到的是该质点组所受的所有外力之和，即合外力F。
②对研究对象进行受力分析。同时还应该分析研究对象的运动情况（包括速度、加速度），并把速度、加速度的方向在受力图旁边画出来。
③若研究对象在不共线的两个力作用下做加速运动，一般用平行四边形定则（或三角形定则）解题；若研究对象在不共线的三个以上的力作用下做加速运动，一般用正交分解法解题（注意灵活选取坐标轴的方向，既可以分解力，也可以分解加速度）。
④当研究对象在研究过程的不同阶段受力情况有变化时，那就必须分阶段进行受力分析，分阶段列方程求解。 例9：如图，质量m=4kg的物体与地面间的动摩擦因数为μ=0.5，在与水平成θ=37°角的恒力F作用下，从静止起向右前进t1=2.0s后撤去F，又经过t2=4.0s物体刚好停下。 求：F的大小、最大速
F 度vm、总位移s。
θ
超重和失重问题
N N N
11
a
a mg mg mg 升降机中人m =50kg，a=2 m/s向上或向下，求秤的示数 注意：
①、物体处于“超重”或“失重”状态，地球作用于物体的重力始终存在，大小也无变化； ②、发生“超重”或“失重”现象与物体速度方向无关，只决定于物体的加速度方向；
③、在完全失重状态，平常一切由重力产生的物理现象完全消失。如单摆停摆、浸在水中的物体不受浮力等。 牛顿定律的适用范围：
（1） 只适用于研究惯性系中运动与力的关系，不能用于非惯性系；
（2） 只适用于解决宏观物体的低速运动问题，不能用来处理高速运动问题； （3） 只适用于宏观物体，一般不适用微观粒子。
牛顿运动定律的应用
应用牛顿运动定律解题的一般步骤
（1）认真分析题意，明确已知条件和所求量，搞清所求问题的类型.
（2）选取研究对象.所选取的研究对象可以是一个物体，也可以是几个物体组成的整体.同一题目，根据题意和解题需要也可以先后选取不同的研究对象.
（3）分析研究对象的受力情况和运动情况.
（4）当研究对象所受的外力不在一条直线上时：如果物体只受两个力，可以用平行四边形定则求其合力；如果物体受力较多，一般把它们正交分解到两个方向上去分别求合力；如果物体做直线运动，一般把各个力分解到沿运动方向和垂直运动的方向上.
（5）根据牛顿第二定律和运动学公式列方程，物体所受外力、加速度、速度等都可根据规定的正方向按正、负值代入公式，按代数和进行运算.
（6）求解方程，检验结果，必要时对结果进行讨论. 3．应用例析
【例1】一斜面AB长为10m，倾角为30°，一质量为2kg的小物体（大小不计）
2
从斜面顶端A点由静止开始下滑，如图所示（g取10 m/s）若斜面与物体间的动摩擦因数为0.5，求小物体下滑到斜面底端B点时的速度及所用时间．
【例2】如图所示，一高度为h=0.8m粗糙的水平面在B点处与一倾角为θ=30°光滑的斜面BC连接，一小滑块从水平面上的A点以v0=3m/s的速度在粗糙的水平面上向右运动。运动到B点时小滑块恰能沿光滑斜面下滑。已知AB间的距离s=5m，求：
（1）小滑块与水平面间的动摩擦因数； （2）小滑块从A点运动到地面所需的时间；
【例3】静止在水平地面上的物体的质量为2 kg，在水平恒力F推动下开始运动，4 s末它的速度达到4m/s，此时将F撤去，又经6 s物体停下来，如果物体与地面的动摩擦因数不变，求F的大小。
整体法与隔离法
【例4】如图所示，A、B两木块的质量分别为mA、mB，在水平推力F作用下沿光滑水平面匀加速向右运动，求A、B间的弹力FN。
点评：这个结论还可以推广到水平面粗糙时（A、B与水平面间μ相同）；也可以推广到沿斜面方向推A、B向上
12
加速的问题，有趣的是，答案是完全一样的。
【例5】如图所示，质量为M的木箱放在水平面上，木箱中的立杆上套着一个质量为m的小球，开始时小球在杆的顶端，由静止释放后，小球沿杆下滑的加速度为重力加速度的
1
，即2
a=
1
g，则小球在下滑的过程中，木箱对地面的压力为多少？ 2
解析典型问题
问题1：必须弄清牛顿第二定律的矢量性。
牛顿第二定律F=ma是矢量式，加速度的方向与物体所受合外力的方向相同。在解题时，可以利用正交分解法进行求解。
例1、如图1所示，电梯与水平面夹角为300,当电梯加速向上运动时，人对梯面压力是其重力的6/5，则人与梯面间的摩擦力是其重力的多少倍？
.
另例： 如图所示，在箱内倾角为α的固定光滑斜面上用平行于斜面的细线固定一质量为m的木块。求：⑴箱以加速度a匀加速上升，⑵箱以加速度a向左匀加速运动时，线对木块的拉力F1和斜面对箱的压力F2各多大？
图1 yFN
Ff aymg
x aax
300
α
v
y ay
F2
F
F2
a
F1 F1 x ax
Gx
问题2：必须弄清牛顿第二定律的瞬时性。 a v
G
Gy
例2、如图2（a）所示，一质量为m的物体系于长度分别为L1、L2的两G 根细线上，L1的一端悬挂在天花板上，与竖直方向夹角为θ，L2水平拉直，物体处于平衡状态。现将L2线剪断，求剪断瞬时物体的加速度。 （l）下面是某同学对该题的一种解法： L1
θ
分析与解：设L1线上拉力为T1，L2线上拉力为T2，重力为mg，物体在三力作用下保持L2
平衡,有
T1cosθ＝mg， T1sinθ＝T2， T2＝mgtanθ
图2(a)
剪断线的瞬间，T2突然消失，物体即在T2反方向获得加速度。因为mg tanθ＝ma，所以加速度a＝g tanθ，方向在T2反方向。
你认为这个结果正确吗？请对该解法作出评价并说明理由。
L1
θ
（2）若将图2(a)中的细线L1改为长度相同、质量不计的轻弹簧，如图2(b)所示，
L2
其他条件不变，求解的步骤和结果与（l）完全相同，即 a＝g tanθ，你认为这个结果正确吗？请说明理由。
图2(b)
13
问题3：必须弄清牛顿第二定律的独立性。
当物体受到几个力的作用时，各力将独立地产生与其对应的加速度（力的独立作用原理），而物体表现出来的实际加速度是物体所受各力产生加速度叠加的结果。那个方向的力就产生那个方m 向的加速度。 M
例3、如图3所示，一个劈形物体M放在固定的斜面上，上表面水平，在水平面上放有光滑小球m，劈形物体从静止开始释放，则小球在碰到斜面前的运动轨迹是： （ ）
A．沿斜面向下的直线 B．抛物线
图3
C．竖直向下的直线 D.无规则的曲线。 问题4：必须弄清牛顿第二定律的同体性。 F F 加速度和合外力(还有质量)是同属一个物体的，所以解题时一定要把研究对象确定好，把研究对象全过程的受力情况都搞清楚。
例4、一人在井下站在吊台上，用如图4所示的定滑轮装置拉绳把吊台和自己提升上来。(m+M)g 图中跨过滑轮的两段绳都认为是竖直的且不计摩擦。吊台的质量m=15kg,人的质量为
图5
M=55kg,起动时吊台向上的加速度是a=0.2m/s2,求这时人对吊台的压力。(g=9.8m/s2)
F 图4
FN
a
Mg 问题5：必须弄清面接触物体分离的条件及应用。
图6 相互接触的物体间可能存在弹力相互作用。对于面接触的物体，在接触面间弹力变为零时，它们将要
分离。
例5、一弹簧秤的秤盘质量m1=1．5kg，盘内放一质量为m2=10．5kg的物体P，弹簧质量不计，其劲度系数为k=800N/m，系统处于静止状态，如图9所示。现给P施加一个竖直向上的力F，使P从静止开始向上做匀
F
加速直线运动，已知在最初0．2s内F是变化的，在0．2s后是恒定的，求F的最大值和最小值各是多少？（g=10m/s2）
.
问题6：必须会分析临界问题。 图9 例6、如图10，在光滑水平面上放着紧靠在一起的ＡＢ两物体，Ｂ的质量是Ａ的2倍，Ｂ受到向右的恒力ＦB=2N，Ａ受到的水平力ＦA=(9-2t)N，(t的单位是s)。从t＝0开始计时，则：
A．Ａ物体3s末时的加速度是初始时的5／11倍； B．t＞４s后,Ｂ物体做匀加速直线运动； C．t＝4.5s时,Ａ物体的速度为零； 图10 D．t＞4.5s后,ＡＢ的加速度方向相反。 P
例8、如图11所示，细线的一端固定于倾角为450的光滑楔形滑块A的顶端P处，细线的另一端拴一质量为m的小球。当滑块至少以加速度a= 向左运动时，小球对滑块
a 的压力等于零，当滑块以a=2g的加速度向左运动时，线中拉力T= 。
A 450
问题7：必须会分析与斜面体有关的问题。（系统牛顿第二定律）
例12. 如图，倾角为α的斜面与水平面间、斜面与质量为m的木块间的动摩擦因数均为μ，
图11
木块由静止开始沿斜面加速下滑时斜面始终保持静止。求水平面给斜面的摩擦力大小和方向。
α
14
例13、（难）如图17所示，水平粗糙的地面上放置一质量为M、倾角为θ的斜面体，斜面
y 体表面也是粗糙的有一质量为m的小滑块以初速度V0由斜面底端滑上斜面上经过时间t到达某
V0
处速度为零，在小滑块上滑过程中斜面体保持不动。求此过程中水平地面对斜面体的摩擦力与支m
M
θ x 持力各为多大？
问题9：必须会分析传送带有关的问题。
P Q 图17 例14、如图18所示，某工厂用水平传送带传送零件，设两轮子圆心的距离为S，传
送带与零件间的动摩擦因数为μ，传送带的速度恒为V，在P点轻放一质量为m的零件，V 并使被传送到右边的Q处。设零件运动的后一段与传送带之间无滑动，则传送所需时间为
S ，摩擦力对零件做功为 .
图18
ｏ
例15、（难）如图19所示，传送带与地面的倾角θ=37，从A到B的长度为16ｍ，传送带以V0=10m/s的速度逆时针转动。在传送带上端无初速的放
A N a1 一个质量为0.5㎏的物体，它与传送带之间的动摩擦因数μｏ =0.5，求物体从A运动到B所需的时间是多少？(sin37
ｏN f2 =0.6,cos37=0.8)
B a2
(a f1 (b
图图
ω mg
机械能
功和功率
【例1】 质量为m的物体，受水平力F的作用，在粗糙的水平面上运动，下列说法中正确的是（ ）
[注意功是怎样改变能量的]
A．如果物体做加速直线运动，F一定做正功 B．如果物体做减速直线运动，F一定做负功 C．如果物体做减速直线运动，F可能做正功 D．如果物体做匀速直线运动，F一定做正功 变力做功的计算
15
① 能定理 ②用平均值代替公式中的F。如果力随位移是均匀变化的，则平均值 F =
F1F2
2
③F～S图象中面积＝功 ④W = Pt
【例2】用力将重物竖直提起，先是从静止开始匀加速上升，紧接着匀速上升。如果前后两过程的运动时间相同，不计空气阻力，则（ ）
A．加速过程中拉力做的功比匀速过程中拉力做的功大 B．匀速过程中拉力做的功比加速过程中拉力做的功大 C．两过程中拉力做的功一样大 D．上述三种情况都有可能 一对作用力和反作用力做功的特点
（1）一对作用力和反作用力在同一段时间内，可以都做正功、或者都做负功，或者一个做正功、一个做负功，或者都不做功。
（2）一对作用力和反作用力在同一段时间内做总功可能为正、可能为负、可能为零。 （3）一对互为作用反作用的摩擦力做的总功可能为零（静摩擦力）、可能为负（滑动摩擦力），但不可能为正。 拓展：作用力和反作用力在同一段时间内的冲量一定大小相等，方向相反，矢量和为零。 区别保守力和非保守力做功的不同:与路径有无关系
【例3】 质量为0.5kg的物体从高处自由下落，在下落的前2s内重力对物体做的功是多少？这2s内重力对物体做功的平均功率是多少？2s末，重力对物体做功的即时功率是多少？（g取10m/s）
v
a
汽车的两种加速问题 f F
①恒定功率的加速②恒定牵引力的加速。 要注意两种加速运动过程的最大速度的区别。
【例4】质量为m、额定功率为P的汽车在平直公路上行驶。若汽车行驶时所受阻力大小不变，并以额定功率行驶，汽车最大速度为v1，当汽车以速率v2（v2<v1）行驶时，它的加速度是多少？
【例5】质量是2000kg、额定功率为80kW的汽车，在平直公路上行驶中的最大速度为20m/s。若汽车从静止开始做
2
匀加速直线运动，加速度大小为2m/s，运动中的阻力不变。求：①汽车所受阻力的大小。②汽车做匀加速运动的时间。③3s末汽车的瞬时功率。④汽车在匀加速运动中牵引力所做的功。
针对训练
1．一质量为m的木块静止在光滑的水平面上，从t=0开始，将一个大小为F的水平恒力作用在该木块上，在t=T时刻F的功率是（ ）
2
F2T2F2TA． B．
mmF2T
C．
2mF2T2
D．
2m
2．火车从车站开出作匀加速运动，若阻力与速率成正比，则（ ）
A．火车发动机的功率一定越来越大，牵引力也越来越大 B．火车发动机的功率恒定不变，牵引力也越来越小
C．当火车达到某一速率时，若要保持此速率作匀速运动，发动机的功率这时应减小
16
D．当火车达到某一速率时，若要保持此速率作匀速运动，则发动机的功率一定跟此时速率的平方成正比 3．同一恒力按同样方式施于物体上，使它分别沿着粗糙水平地面和光滑水平抛面移动相同一段距离时，恒力的功和平均功率分别为W1、P1和W2、P2，则二者的关系（ ）
A．W1W2、P1P2 B．W1W2、P1P2 C．W1W2、P1P2 D．W1W2、P1P2
4．如图甲所示，滑轮质量、摩擦均不计，质量为2kg的物体在F作用下由静止开始向上做匀加速运动，其速度随时间的变化关系如图乙所示，由此可知（ ）
2
A．物体加速度大小为2 m/s B．F的大小为21N
C．4s末F的功率大小为42W D．4s内F做功的平均功率为42W
5．物体静止在光滑水平面上，先对物体施一水平向右的恒力F1，经时间t后撤去F1，立即再对它施加一水平向左的恒力F2，又经时间t后物体回到原出发点，在这一过程中，F1、F2分别对物体做的功W1、W2之比为多少？
6．如图所示，在光滑的水平面上，物块在恒力F=100N作用下从A点运动到B点，不计滑轮的大小，不计绳、滑轮间摩擦，H=2.4m，α=37°，β=53°，求拉力F所做的功
动能 势能 动能定理
【例1】 一个质量为m的物体静止放在光滑水平面上，在互成60°角的大小相等的两个水平恒力作用下，经过一段时间，物体获得的速度为v，在力的方向上获得的速度分别为v1、v2，那么在这段时间内，其中一个力做的功为
12111
mv B．mv2 C．mv2 D．mv2
3642
11v12
错解：在分力F1的方向上，由动动能定理得W1mv1m()2mv2，故A正确。
222cos306
1
正解：在合力F的方向上，由动动能定理得，WFsmv2，某个分力的功为
2
F11
W1F1scos30scos30Fsmv2，故B正确。
2cos3024
A．
对外力做功与动能变化关系的理解：
应用动能定理解题的步骤
（1）确定研究对象和研究过程。和动量定理不同，动能定理的研究对象只能是单个物体，如果是系统，那么系统内的物体间不能有相对运动。（原因是：系统内所有内力的总冲量一定是零，而系统内所有内力做的总功不一定是零）。
（2）对研究对象受力分析。（研究对象以外的物体施于研究对象的力都要分析，含重力）。 （3）写出该过程中合外力做的功，或分别写出各个力做的功（注意功的正负） （4）写出物体的初、末动能。按照动能定理列式求解。
17
【例2】 将小球以初速度v0竖直上抛，在不计空气阻力的理想状况下，小球将上升到某一最大高度。由于有空气阻力，小球实际上升的最大高度只有该理想高度的80%。设空气阻力大小恒定，求小球落回抛出点时的速度大小v。
【例3】如图所示，质量为m的钢珠从高出地面h处由静止自由下落，落到地面进入沙坑h/10停止，则
（1）钢珠在沙坑中受到的平均阻力是重力的多少倍？
（2）若让钢珠进入沙坑h/8，则钢珠在h处的动能应为多少？设钢珠在沙坑中所受平均阻力大小不随深度改变。
【例4】 质量为M的木块放在水平台面上，台面比水平地面高出h=0.20m，木块离台的右端L=1.7m。质量为m=0.10M的子弹以v0=180m/s的速度水平射向木块，并以v=90m/s的速度水平射出，木块落到水平地面时的落地点到台面右端的水平距离为s=1.6m，求木块与台
面间的动摩擦因数为μ。
动能定理的综合应用
1．应用动能定理巧求变力的功
如果我们所研究的问题中有多个力做功，其中只有一个力是变力，其余的都是恒力，而且这些恒力所做的功比较容易计算，研究对象本身的动能增量也比较容易计算时，用动能定理就可以求出这个变力所做的功。
【例5】一辆车通过一根跨过定滑轮的绳PQ提升井中质量为m的物体，如图所示．绳的P端拴在车后的挂钩上，Q端拴在物体上．设绳的总长不变，绳的质量、定滑轮的质量和尺寸、滑轮上的摩擦都忽略不计．开始时，车在A点，左右两侧绳都已绷紧并且是竖直的，左侧绳长为H．提升时，车加速向左运动，沿水平方向从A经过B驶向C．设A到B的距离也为H，车过B点时的速度为vB．求在车由A移到B的过程中，绳Q端的拉力对物体做的功．
应用动能定理简解多过程问题。
物体在某个运动过程中包含有几个运动性质不同的过程（如加速、减速的过程），此时可以分段考虑，也可以对全过程考虑。
【例7】 如图所示，斜面足够长，其倾角为α，质量为m的滑块，距挡板P为s0，以初速度v0沿斜面上滑，滑块与斜面间的动摩擦因数为μ，滑块所受摩擦力小于滑块沿斜面方向的重力分力，若滑块每次与挡板相碰均无机械能损失，求滑块在斜面上经过的总路程为多少？
利用动能定理巧求动摩擦因数
【例8】 如图所示，小滑块从斜面顶点A由静止滑至水平部分C点而停止。已知斜面高为h，滑块运动的整个水平距离为s，设转角B处无动能损失，斜面和水平部分与小滑块的动摩擦因数相同，求此动摩擦因数。
18
利用动能定理巧求机车脱钩问题
【例9】总质量为M的列车，沿水平直线轨道匀速前进，其末节车厢质量为m，中途脱节，司机发觉时，机车已行驶L的距离，于是立即关闭油门，除去牵引力。设运动的阻力与质量成正比，机车的牵引力是恒定的。当列车的两部分都停止时，它们的距离是多少？
针对训练
1．质量为m的物体，在距地面h高处以g/3 的加速度由静止竖直下落到地面.下列说法中正确的是 （ ）
11
mgh B.物体的动能增加mgh 3311
C.物体的机械能减少mgh D.重力做功mgh
33
A.物体的重力势能减少
2．质量为m的小球用长度为L的轻绳系住，在竖直平面内做圆周运动，运动过程中小球受空气阻力作用.已知
小球经过最低点时轻绳受的拉力为7mg，经过半周小球恰好能通过最高点，则此过程中小球克服空气阻力做的功为
（ ） A.mgL/4 B.mgL/3 C.mgL/2 D.mgL
3．如图所示，木板长为l，板的A端放一质量为m的小物块，物块与板间的动摩擦因数 为μ。开始时板水平，在绕O点缓慢转过一个小角度θ的过程中，若物块始终保持与板相对静止。对于这个过程中各力做功的情况，下列说法正确的是 ( )
A、摩擦力对物块所做的功为mglsinθ(1-cosθ)
B、弹力对物块所做的功为mglsinθcosθ
C、木板对物块所做的功为mglsinθ D、合力对物块所做的功为mgl cosθ
4．质量为m的飞机以水平速度v0飞离跑道后逐渐上升，若飞机在此过程中水平速度保持不变，同时受到重力和竖直向上的恒定升力(该升力由其他力的合力提供，不含重力)，今测得当飞机在水平方向的位移为l时，它的上升高度为h，求：(1)飞机受到的升力大小;(2)从起飞到上升至h高度的过程中升力所做的功及在高度h处飞机的动能 .
5．如图所示，质量m=0.5kg的小球从距地面高H=5m处自由下落，到达地面恰能沿凹陷于地面的半圆形槽壁运动，半圆槽半径R=0.4m。小球到达槽最低点时速率为10m/s，并继续沿槽壁运动直到从槽右端边缘飞出……，如此反复几次，设摩擦力恒定不变，求：（设小球与槽壁相碰时不损失能量）
（1）小球第一次离槽上升的高度h；
（2）小球最多能飞出槽外的次数（取g=10m/s2）。
机械能守恒定律
解题步骤
⑴确定研究对象和研究过程。⑵判断机械能是否守恒。⑶选定一种表达式，列式求解。
动能定理与机械能守恒的联系
1、 动能定理适用于任何物体（质点），机械能守恒定律适用于系统 2、 动能定理没有条件，机械能守恒定理有条件限制 3、 动能定理有时可改写成守恒定律
O
19
B
综合应用
例1、如图所示，质量分别为2 m和3m的两个小球固定在一根直角尺的两端A、B，直角尺的顶点O处有光滑的固
定转动轴。AO、BO的长分别为2L和L。开始时直角尺的AO部分处于水平位置而B在O的正下方。让该系统由静止开始自由转动，求：⑴当A到达最低点时，A小球的速度大小v；⑵ B球能上升的最大高度h；⑶开始转动后B球可能达到的最大速度vm。
例2、如图所示，半径为R的光滑半圆上有两个小球A、B，质量分别为m和M，由细线挂着，今由静止开始无初速度自由释放，求小球A升至最高点C时A、B两球的速度？
例3、如图所示，均匀铁链长为L，平放在距离地面高为2L的光滑水平面上，其长度的
1
悬垂于桌面下，从静止5
开始释放铁链，求铁链下端刚要着地时的速度？
例5、如图所示，游乐列车由许多节车厢组成。列车全长为L，圆形轨道半径为R，（R远大于一节车厢的高度h和长度l，但L>2πR）.已知列车的车轮是卡在导轨上的光滑槽中只能使列车沿着圆周运动，在轨道的任何地方都不能脱轨。试问：在没有任何动力的情况下，列车在水平轨道上应具有多大初速度v0，才能使列车通过圆形轨道而运动到右边的水平轨道上？
例6、小球在外力作用下，由静止开始从A点出发做匀加速直线运动，到B点时消除外力。然后，小球冲上竖直平面内半径为R的光滑半圆环，恰能维持在圆环上做圆周运动，到达最高点C后抛出，最后落回到原来的出发点A处，如图所示，试求小球在AB段运动的加速度为多大？
例7、如图所示，半径分别为R和r的甲、乙两个光滑的圆形轨道安置在同一竖直平面上，轨道之间有一条水平轨道CD相通，一小球以一定的速度先滑上甲轨道，通过动摩擦因数为μ的CD段，又滑上乙轨道，最后离开两圆轨道。若小球在两圆轨道的最高点对轨道压力都恰好为零，试求水平CD段的长度。
三、针对训练
1．将一球竖直上抛，若该球所受的空气阻力大小不变，则其力大小不变，则其上升和下降两过程的时间及损失的机械能的关系是（ ）
A．t上>t下，E上>E下 B．t上<t下，E上<E下
C．t上<t下，E
上
=E
下 D．上
t=t下，E
上
=E
下
2．如图所示，质量、初速度大小都相同的A、B、C三个小球，在同一水平面上，A球竖直上抛，B球以倾斜角θ斜和上抛，空气阻力不计，C球沿倾角为θ的光滑斜面上滑，它们上升的最大高度分别为hA、hB、hC，则（ ）
A．hAhBhC B．hAhBhC
20
C．hAhBhC D．hAhB,hAhC
3．质量相同的两个小球，分别用长为l和2 l的细绳悬挂在天花板上，如图所示，分别拉起小球使线伸直呈水平状态，然后轻轻释放，当小球到达最低位置时（ ）
A．两球运动的线速度相等 B．两球运动的角速度相等 C．两球运动的加速度相等 D．细绳对两球的拉力相等
4．一个人站在阳台上，以相同的速率v0，分别把三个球竖直向上抛出，竖直向下抛出，水平抛出，不计空气阻力，则三球落地时的速率（ ）
A．上抛球最大 B．下抛球最大 C．平抛球最大 D．三球一样大
5．质量为m的人造地球卫星，在环绕地球的椭圆轨道上运行，在运行过程中它的速度最大值为vm，当卫星由远地点运行到近地点的过程中，地球引力对它做的功为W，则卫星在近地点处的速度为________，在远地点处的速度为______。
功能关系
功是能量转化的量度。
F
【例1】 质量为m的物体在竖直向上的恒力F作用下减速上升了H，在这个过程中，下列说法中正确的有 （ ）
A.物体的重力势能增加了mgH B.物体的动能减少了FH C.物体的机械能增加了FH G D.物体重力势能的增加小于动能的减少
【例2】 如图所示，一根轻弹簧下端固定，竖立在水平面上。其正上方A位置有一只小球。小球从静止开始下落，在B位置接触弹簧的上端，在C位置小球所受弹力大小等于重力，在D位置小球速度减小到零。小球下降阶段下列说法中正确的是 （ ）
A．在B位置小球动能最大 B．在C位置小球动能最大
C．从A→C位置小球重力势能的减少大于小球动能的增加
D．从A→D位置小球重力势能的减少等于弹簧弹性势能的增加
v a
A B C
曲线运动
运动的合成与分解 平抛物体的运动
合运动与分运动的特征：
①运动的合成与分解符合平行四边形法则。分运动共线时
v1 v
变成了代数相加减。——矢量性
a1
②合运动与分运动具有“同时性”——同时性
a
③每个分运动都是独立的，不受其他运动的影响——独立性 ④合运动的性质是由分运动决定的——相关性 o v2
⑤实际表现出来的运动是合运动
⑥速度、时间、位移、加速度要一 一对应
⑦运动的分解要根据力的作用效果(或正交分解) 应用举例：
1． 过河问题
例1、一条宽度为L的河流，水流速度为Vs,已知船在静水中的速度为Vc，那么： （1）怎样渡河时间最短？
21
（2）若Vc>Vs,怎样渡河位移最小？
（3）若Vcs,怎样注河船漂下的距离最短？
2．连带运动问题
【例2】如图所示，汽车甲以速度v1拉汽车乙前进，乙的速度为v2，甲、乙都在水平面上运动，求v1∶v2
【例3】 两根光滑的杆互相垂直地固定在一起。上面分别穿有一个小球。小球a、b间用一细直棒相连如图。当细直棒与竖直杆夹角为α时，求两小球实际速度之比va∶vb
3、会根据运动的合成与分解求解面接触物体的速度问题。
求相互接触物体的速度关联问题时，首先要明确两接触物体的速度，分析弹力的方向，然后将两物体的速度分别沿弹力的方向和垂直于弹力的方向进行分解，令两物体沿弹力方向的速度相等即可求出。
例4、一个半径为R的半圆柱体沿水平方向向右以速度V0匀速运动。在半圆柱体上搁置一根竖直杆，此杆只能沿竖直方向运动，如图7所示。当杆与半圆柱体接触点P与柱心的连线与竖直方向的夹角为θ，求竖直杆运动的速度。
V1
. VR θ P 平抛运动
当物体初速度水平且仅受重力作用时的运动，被称为平抛运动。其轨迹为抛物线，性质O
图7 为匀变速运动。平抛运动可分解为水平方向的匀速运动和竖直方向的自由落体运动这两个分
运动。广义地说，当物体所受的合外力恒定且与初速度垂直时，做类平抛运动。
一个有用的推论
A O v 平抛物体任意时刻瞬时时速度方向的反向延长线与初速度延长线的交点到0 B 抛出点的距离都等于水平位移的一半。
v0 θ D C 平抛中能量守恒 vt vy
注意：两个分解（位移和速度）和两个物理量（角度和时间）
4．应用举例
【例5】 已知网高H，半场长L，扣球点高h，扣球点离网水平距离s、求：水平
v 扣球速度v的取值范围。
h
s H L
例6、如图8在倾角为θ的斜面顶端A处以速度V0水平抛出一小球，落在斜面上的某一点B处，设空气阻力不计，求（1）小球从A运动到B处所需的时间；（2）从抛出开始计时，经过多长时间小球离斜面的距离达到最大？
V0
V0 A
B
22
θ
Vy1
图8
圆周运动
【例1】如图所示装置中，三个轮的半径分别为r、2r、4r，b点到圆心的距离为r，求图中a、b、c、d各点的线速度之比、角速度之比、加速度之比。
向心力和加速度
注意：区分匀速圆周运动和非匀速圆周运动的力的不同 来源：一个力、某个力的分力、一些力的合力 应用举例
（临界或动态分析问题）
c
b d
a
v2
提供的向心力 需要的向心力m
r
＝ 圆周运动 ＞ 近心运动
＜ 离心运动 ＝0 切线运动
1、火车转弯
问题：飞机转弯的向心力的来源
2、汽车过拱桥
23
N
mg
说明：F＝mv2 / r同样适用于变速圆周运动，F和v具有瞬时意义，F随v的变化而变化。 3、圆锥问题
N
例：小球在半径为R的光滑半球内做水平面内的匀速圆周运动，试分析图中的θ（小球与半球球心连线跟竖直
mg 方向的夹角）与线速度v、周期T的关系。
4、绳杆球
F N F
G 绳 θ
G F
G
这类问题的特点是：由于机械能守恒，物体做圆周运动的速率时刻在改变，物体在最高点处的速率最小，在最低点处的速率最大。物体在最低点处向心力向上，而重力向下，所以弹力必然向上且大于重力；而在最高点处，向心力向下，重力也向下，所以弹力的方向就不能确定了，要分三种情况进行讨论。
② 力只可能向下，如绳拉球。 ②弹力只可能向上，如车过桥。
③弹力既可能向上又可能向下，如管内转（或杆连球、环穿珠）。
但可以进一步讨论：①当v
gR时物体受到的弹力必然是向下的；当vgR时物体受到的弹力必然是向上
的；当vgR时物体受到的弹力恰好为零。②当弹力大小F<mg时，向心力有两解：mg±F；当弹力大小F>mg时，向心力只有一解：F +mg；当弹力F=mg时，向心力等于零。 综合应用例析
【例2】如图所示，用细绳一端系着的质量为M=0.6kg的物体A静止在水平转盘上，细绳另一端通过转盘中心的光滑小孔O吊着质量为m=0.3kg的小球B，A的重心到O点的距离为0.2m．若A与转盘间的最大静摩擦力为f=2N，为使小球B保持静止，求转盘绕中心O旋转的角速度ω的取值范围．
【例3】一内壁光滑的环形细圆管，位于竖直平面内，环的半径为R（比细管的半径大得多）．在圆管中有两个直径与细管内径相同的小球（可视为质点）．A球的质量为m1，B球的质量为m2．它们沿环形圆管顺时针运动，经过最低点时的速度都为v0．设A球运动到最低点时，B球恰好运动到最高点，若要此时两球作用于圆管的合力为零，那么m1、m2、R与v0应满足的关系式是______．
【例5】如图所示，滑块在恒定外力作用下从水平轨道上的A点由静止出发到B点时撤去外力，又沿竖直面内的光滑半圆形轨道运动，且恰好通过轨道最高点C，滑块脱离半圆形轨道后又刚好落到原出发点A，试求滑块在AB段运动过程中的加速度.
24
例5、 如图所示，M为悬挂在竖直平面内某一点的木质小球，悬线长为L，质量为m的子弹以水平速
度V0射入球中而未射出，要使小球能在竖直平面内运动，且悬线不发生松驰，求子弹初速度V0应满足的条件。
L V0
万有引力定律 人造卫星
用万有引力定律分析天体的运动
1.基本方法：把天体运动近似看作圆周运动，它所需要的向心力由万有引力提供，即
2vGMm2
mr＝mg＝＝＝m2
rr
22
) gGM＝mr(Tr2
2.估算天体的质量和密度
① “T 、 r”法
②“g、R”法 g
GM
M 2R
1s。30
【例1】中子星是恒星演化过程的一种可能结果，它的密度很大。现有一中子星，观测到它的自转周期为T=
问该中子星的最小密度应是多少才能维持该星的稳定，不致因自转而瓦解。计算时星体可视为均匀球体。(引力常数G=6.6710
11
m3/kg.s2)
3.卫星的绕行速度、角速度、周期与半径的关系
例2、如图所示，A、B两质点绕同一圆心按顺时针方向作匀速圆周运动，A的周期为T1，B的周期为T2，且T1＜T2，在某时刻两质点相距最近，开始计时，问： （1）何时刻两质点相距又最近？（2）何时刻两质点相距又最远？
4.三种宇宙速度
25
5.地球同步卫星
在同步卫星的实际发射中，大多数国家采取“变轨发射”，发射过程经历以下三个阶段： 。
万有引力中应注意的几个问题
1、不同公式和问题中的r，含义不同
例3、如图１所示，行星沿椭圆轨道绕太阳运行，且近日点A到太阳的距离为a，远日点B到太阳的距离为b，求行星在A、B两点的运行速率之比？
解析：由椭圆轨道对称性可知，A、B两点所处曲线的曲率半径相同，设为R，
22vAvBvMmMmb
在A处：G2m(1) ；在B处：G2m(2)A
RvBaRba22
vAvBvAMmMm
出现的问题：G2m； G2m
abvBab
b
a
例4 如图所示，两个靠得很近的恒星称为双星，这两颗星必须各以一定速度绕某一中心转动才不至于因万有引力而吸引在一起，已知双星的质量分别为m1和m2，相距为L，万有引力常量为G，
r
m2 m1
O
例5 飞船沿半径为R的圆周绕地球运动，其周期为T，如果飞船要返回地面，可在轨道上某一点A处将速率降低到适当数值，从而使飞船沿着以地心为焦点的椭圆轨道运行，椭圆与
R 地球表面在B点相切，如图所示，求飞船由A点运动到B点所需要的时间。（已知地球半径为
R0） A R0 B
2、万有引力、向心力和重力
例6、某星球壳视为球体，自转周期为T，在它的两极处，用弹簧秤测得物体重为P，在它的赤道上，用弹簧秤测得同一物体重为0.9P，求星球的平均密度？
例7、如果地球自转速度加快，地球上物体的重量将发生怎样的变化？地球自转角速度等于多少时，在赤道上物体
981024Kg) 的重量为零？这时一昼夜将有多长？(R地＝6370Km,M地＝5．
26
例8 、已知物体从地球上的逃逸速度(第二宇宙速度)v=√2GME/RE，其中G、ME、RE分别是万有引力恒量、地球的质
-11228
量和半径．已知G=6.67×10N·m/kg，c=2.9979×10m/s．求下列问题：
30
(1)逃逸速度大于真空中光速的天体叫做黑洞．设某黑洞的质量等于太阳的质量M=1.98×10kg，求它的可能最大半径(这个半径叫Schwarz—Child半径)；
-273
(2)在目前天文观测范围内，物质的平均密度为10kg/m，如果认为我们的宇宙是这样一个均匀大球体，其密度使得它的逃逸速度大于光在真空中的速度c，因此任何物体都不能脱离宇宙，问宇宙的半径至少多大？
3、人造卫星中的“超重”、“失重”： 例5、一物体在地球表面重16N，它在以5m离地面的距离为地球半径的多少倍？
卫星进入正常运行轨道，由相同的间距r决定各物体具有相同的运动状态(a、v、、T）。卫星上的所有物体为什么处于完全失重状态，这是理解的一个难点，减小学生理解难的方法就是采用反证法：假设卫星上所有物体还受到其它力的作用，则：
s
2
的加速度上升的火箭中的视重为9N，g10m
s2
，则此时火箭
F合F万NMa/，
a/G
MN
a，假设不成立，因此，凡一切工作原理涉及到重力的有关仪器在卫星中都不能正常使用。 2
mR
第六章 选修3-1 电 场
27
电荷和电荷守恒定律
电场
电场力的性质
场强E=F/q 矢量 电场线
匀强电场E=U/d 真空中点电荷的电场E=KQ/r2
电场能的性质
电势：φ =ε/q 标量 等势面 电势差：UAB=UA—UB=Δε/q =wAB /q
电场力
F=E·q（任何电场）F=Kq1q2/r2(真空中点电荷)
电势能：ε=Qφ ΔεAB=qUAB
电场力的功 W=qUAB=ΔεAB 做功与路径无关
带电粒子在电场中运动 平衡 直线加速 偏转
电场中的导体 静电感应 静电平衡 电容器 电容：C=Q/U
第1单元 电场的力的性质
Ⅰ 电 荷 守 恒 和 库 仑 定 律
一、两种电荷——自然界中有两种电荷，同性相斥，异性相吸，正负中和 用丝绸摩擦过的玻璃棒带_____电
转移
用毛皮摩擦过的橡胶棒带______电
摩擦起电是电荷的转移，不是电荷的创造。电荷没有质量 二、电荷守恒定律
电荷既不能创造，也不能消灭，只能从一个物体转移到另一个物体，或从物体的一部分转移到另一部分，在转移的过程中，电荷的总量保持不变。这是物理学中的重要基本规律之一。
三、元电荷、点电荷和净电荷 1、 元电荷： 1 e＝1.6×10
－19
玻璃棒
丝绸
4
C，所有的带电体的电量都是e的整数倍，如2He、126C
2、点电荷：
3、净余电荷：
四、库仑定律（法国）——真空中两个点电荷的相互作用力（静电力或库仑力），跟它们电量的乘积成正比，跟它们距离的平方成反比，作用力的方向在它们的连线上。
Q1 Q2
FK
Q1Q2922
k9.010Nmc 2
r
r
1、成立条件①真空中（空气中也近似成立），②点电荷。 2、 正负的处理：绝对值
五、两个完全相同的带电金属球相碰，电荷先中和，后平分。
－－
例1、电子m1＝9.1×10 31 kg， 质子m2＝1.67×10 27 kg，
求：静电力和万有引力的比值
例2、在真空中同一条直线上的A、B两点固定有电荷量分别为+4Q和-Q的点电荷。①将另一个点电荷放在该直线上的哪个位置，可以使它在电场力作用下保持静止？②若要求这三个点电荷都只在电场力
28
O
N d A
mBg
B
作用下保持静止，那么引入的这个点电荷应是正电荷还是负电荷？电荷量是多大？
例3、已知如图，带电小球A、B的电荷分别为QA、QB，OA=OB，都用长L的丝线悬挂在O点。静止时A、B相距为d。为使平衡时AB间距离减为d/2，可采用哪些方法
A．将小球A、B的质量都增加到原来的2倍 B．将小球B的质量增加到原来的8倍
C．将小球A、B的电荷量都减小到原来的一半
D．将小球A、B的电荷量都减小到原来的一半，同时将小球B的质量增加到原来的2倍
例4、（与力学综合的问题） 已知如图，光滑绝缘水平面上有两只完全相同的金属球A、B，带电量分别为-2Q与-Q。现在使它们以相同的初动能E0（对应的动量大小为p0）开始相向运动且刚好能发生接触。接触后两小球又各自反向运动。当它们刚好回到各自的出发点时的动能分别为E1和E2，动量大小分别为p1和p2。有下列说法： B
-Q -2Q ①E1=E2> E0，p1=p2> p0 ②E1=E2= E0，p1=p2= p0
③接触点一定在两球初位置连线的中点右侧某点
④两球必将同时返回各自的出发点。其中正确的是 （ ） A．②④ B．②③ C．①④ D．③④
Ⅱ 电 场 和 电 场 强 度
一、电场：电荷间相互作用的媒介物
1、 来源：（1）只要有电荷的存在，无论如何，在它们的周围都会产生电场，电场是由电荷决定的。（2）变化的磁场（麦克斯韦） 2、 性质：（1）对放入电场中的电荷由电场力的作用
电荷 电场 电荷
二、电场强度（场强E，矢量）
实验表明，对于电场中的某个确定的点，电场力与检验电荷的电量的比值是
检验电荷 确定的（除非电场改变）
1、场强的大小
场源电荷
场强＝
电场力检验电荷电量
E＝
F
N / C q
2、场强的方向：（或叫做电场的方向）规定正电荷的受力的方向为场强的方向，与负电荷的受力方向相反。 理解：1、矢量（可以合成或分解）
2、描述电场的强弱和方向
3、E是描述电场的性质，不是描述检验电荷的性质，只要电场中某点确定，场强就确定，场强与检验电荷无关，F和q同时变化，但比值不变。
4、描述电场的力的性质 三、点电荷的场强
FE
q
KQq
r2KQqr2
E
KQ
2r
场源电荷 检验电荷
1．电场强度E——是描述电场的力的性质的物理量 四、电场的叠加
多个电场相互叠加，某点的场强就等于各个场单独存在时在该点场强的矢量和――场的叠加原理
29
A
例5、图中边长为a的正三角形ABC的三点顶点分别固定三个点电荷+q、+q、-q，求该三
EB 角形中心O点处的场强大小和方向。
O
B EC C
EA
例6、 如图，在x轴上的x = -1和x =1两点分别固定电荷量为- 4Q和+9Q的点
-4Q +9Q 电荷。求：x轴上合场强为零的点的坐标。并求在x = -3点处的合场强方向。
-5 -3 -1 1
Ⅲ 电 场 线
一、电场线 （法拉第）
在电场中画一组曲线，使曲线上各点切线的方向都跟该点的场强的方向一致，即跟该点的正
电荷的受力的方向一致，这样的曲线叫电场线。（三向合一） 二、常见的电场线形状
孤立点电荷周围的电场
等量异种点电荷的电场 等量同种点电荷的电场
+
－ － － － 点电荷与带电平板
匀强电场
电场线的形状可以用奎宁的针状晶体或蓖麻油中的头发屑模拟 三、电场线的特点
1、 从正电荷出发，终止于负电荷 2、 不闭合，不相交
3、 切线的方向表示电场的方向或正电荷的受力方向
意义
4、 疏密程度表示场强的大小，场的强弱 5、 电场线（或E）⊥等势面
6、 电场线由高的等势面指向低的等势面
四、匀强电场
场强的大小和方向各处均相同，电场线平行、等距、同向
两块等大、平行、靠近、正对、带等量异种电荷的金属板间的电场，（边缘除外）是匀强电
c
30
+ a O
－
场
例7、如图所示，在等量异种点电荷的电场中，将一个正的试探电荷由A 点沿直线移到O点，再沿直线由O点移到c点。在该过程中，检验电荷所受的电场力大小和方向如何改变？其电势能又如何改变？
练习：
1．处在如图所示的四种电场中P点的带电粒子，由静止释放后只受电场力作用，其加速度一定变大的是（ ）
2．如图所示，带箭头的线段表示某一电场中的电场线的分布情况．一带电粒子在电场中运动的轨迹如图中虚线所示．若不考虑其他力，则下列判断中正确的是 （ ）
A．若粒子是从A运动到B，则粒子带正电；若粒子是从B运动到A，则粒子带负电 B．不论粒子是从A运动到B，还是从B运动到A，粒子必带负电 C．若粒子是从B运动到A，则其加速度减小 D．若粒子是从B运动到A，则其速度减小 4．在图所示的竖直向下的匀强电场中，用绝缘的细线拴住的带电小球在竖直平面内绕悬点O做圆周运动，下列说法正确的是
①带电小球有可能做匀速率圆周运动 ②带电小球有可能做变速率圆周运动 ③带电小球通过最高点时，细线拉力一定最小④带电小球通过最低点时，细线拉力有可能最小 （ ）
A．② B．①② C．①②③ D．①②④
5．在一高为h的绝缘光滑水平桌面上，有一个带电量为+q、质量为m的带电小球静止，小球到桌子右边缘的距离为s，突然在空间中施加一个水平向右的匀强电场E，且qE= 2 mg，如图所示，求：
（1）小球经多长时间落地？ （2）小球落地时的速度．
第2单元 电场的能的性质
Ⅰ 电 势 能 和 电 势 和 电 势 差
一、电势能（ε标量 焦耳 J ）——电场力、相对位置
1、电荷在电场中受到电场力，所具有的与电荷的位置有关的能量，称电势能或电能。 2、电势能的相对性――选择零势能面，一般选择大地或无穷远为零势能面。（等效）
3、电场力做功与电势能改变的关系——方法与重力势能相对比
①无论电荷的正负，电场力做正功，电势能减小，电场力做负功，电势能增加，做功和电势能的变化量在数值上是相等的
A到B，正功，εa＞εb A B
B A
A到B，负功，εa＜εb
A B
31
C
②静电场中，电场力做功与路径无关，电势能的改变量与路径无关 二、 电势＝
电势能
1 J / C ＝ 1 V / m
电量q
1、 地位：u（或φ）与力学中的高度相当（标量） 2、 相对性：选取大地或无穷远处为零电势点 3、 沿电场线方向，电势降低（与电性无关）
A B
ε＝10J
φ＝5V
2C ε＝6J φ ＝3V
∞
ε＝0 φ＝0
4、 电势由电场本身性质决定
5、 电势是描述电场中能量性质的物理量
6、 意义：电场中某一点的电势在数值等于单位电荷在那一点所具有的电势能。 练习：
1、 沿电场线方向移动正电荷，电势能_______ 沿电场线方向移动负电荷，电势能_________
正电荷的电场中，电势为__负电荷的电场中，电势为___
2、 正电荷的电场中，正的检验电荷电势能为______负的检验电荷电势能为_____ 负电荷的电场中，正的检验电荷电势能为______,负的检验电荷电势能为_____ 3、 只在电场力的作用下，正电荷顺着电场线运动，由______________
只在电场力的作用下，负电荷逆着电场线运动，由_____________ 4、 比较5J和－7J的大小，理解标量负号的意义。
三、电 势 差——电场力做功与电荷电量的比值叫电势差
1、 在电场中某两点的电势之差，也叫电压
S M UAB ＝ φA － φB
2、 UAB
A
q
B
q
w
q
N 5V
0V －2V S M 0V －2V
点的选择无关
3、意义：
①对应于高度差，由电场本身的性质决定
②电势与选择的零电势点有关，电势差与零电势4、运用要求：
1、UAB＝ΦA－ΦB ＝1－4＝－3 V 带正负号
2、U＝W/q或W＝qU 用绝对值，正负号另行判断（U143V）
例8：将电量为q＝－2×10 8 C的点电荷从零电场中点S移动到M点要克服电场力做功4×108 J，求M点的电势
－
＝？。若再从M点移动到N点，电场力又做正功14×108 J，求N点电势＝？ +
32
－
例9：电子伏是研究微观粒子时常用的能量单位。1ev就是电势差为1V的两点间移动一个元电荷电场力所做的功。
－－
1ev＝1.6×1019C×1V＝1.6×1019 J，把一个二价正离子从大地移动到电场中的A点，w＝6ev，求：UA＝？
例10、 如图所示，三个同心圆是同一个点电荷周围的三个等势面，已知这三个圆的半径成等差数列。A、B、C分别是这三个等势面上的点，且三点在同一条电场线上。A、C两点的电势依次为φA=10V和φC=2V，则B点的电势是 ( )
A.一定等于6V B.一定低于6V C.一定高于6V D.无法确定 【例11】 已知ΔABC处于匀强电场中。将一个带电量q= -2×10-6C的点电荷从A移到B的过程中，电场力做功W1= -1.2×10-5J；再将该点电荷从B移到C，电场力做功W2= 6×10-6J。已知A点的电势φA=5V，则B、C两点的电势分别为____V和____V。试在右图中画出通过A点的电场线。
Ⅱ 等 势 面
一、等势面——电场中，电势相等的各点所构成的面(等高线和等压线) 二、常见等势面的形状
B
A D
C
三、等势面的特点
1、 在等势面上移动电荷，电场力不做功 2、 电场线（或E）⊥等势面
3、 电场线由高的等势面指向低的等势面 4、 闭合、等势面不相交
5、 静电平衡导体是等势体，表面是等势面 6、 等差等势面――相邻的等势面的电势差相等 （1） 差等势面越密的地方，电场越强，场强越大
（2） 相邻的等差等势面移动同一个电荷电场力做功相等
7、沿电场方向电势降低最快（场强方向是电势 降落最快的地方）
8、匀强电场中，平行等长的线段两个端点间的电势差相等，即匀强电场中的电势
33
20 10 0
8V 0V －8V
均匀变化。 练习
等量异种电荷
（1）中垂线的电场强度和电势的特点
（2）带电粒子从无穷远处移动到中点，分析电场力的做功情况和电势能的改变情况
（3）一个电子由8V到－8V电场力做功情况，电势能的变化情况。
Ⅲ 电 势 差 与 电 场 强 度 的 关 系 一、公式的推导
说明：1、适用于匀强电场
2、U是两点间的电势差，d是沿电场方向的距离 3、单位
4、在匀强电场中，场强在数值上等于沿场强方向每单位距离上降低的电势。
二、场强的三种求法
1、 E＝F / q 定义式，适用于任何电场（真空、介质） 2、 E＝KQ / r2 适用于点电荷的电场（真空、点电荷） 3、 E＝U / d 适用于匀强电场（真空） 针对训练
9 8 7 6 6 6 6 5 4 3
1.电场中有A、B两点，一个点电荷在A点的电势能为1.2×10-8 J，在B点的电势能为0.80×10-8 J.已知A、B两点在同一条电场线上，如图所示，该点电荷的电荷量为1.0×10-9C，那么 ( )
A.该电荷为负电荷 B.该电荷为正电荷
C.A、B两点的电势差UAB=4.0 V D.把电荷从A移到B，电场力做功为W=4.0 J
2.某电场中等势面分布如图所示，图中虚线表示等势面，过a、b两点的等势面电势分别为40 V和10 V，则a、b连线的中点c处的电势应 ( )
A.肯定等于25 V B.大于25 V C.小于25 V D.可能等于25 V 3如图所示，在粗糙水平面上固定一点电荷Q，在M点无初速释放一带有恒定电荷量的小物块，小物块在Q的电场中运动到N点静止，则从M点运动到N点的过程中( )
A 小物块所受电场力逐渐减小 B.小物块具有的电势能逐渐减小
C.M点的电势一定高于N点的电势 D.小物块电势能变化量的大小一定等于克服摩擦力做的功 4.如图所示，M、N两点分别放置两个等量种异电荷，A为它们连线的中点，B为连线上靠近N的一点，C为连线中垂线上处于A点上方的一点，在A、B、C三点中. ( )
A.场强最小的点是A点，电势最高的点是B点 B.场强最小的点是A点，电势最高的点是C点 C.场强最小的点是C点，电势最高的点是B点 D.场强最小的点是C点，电势最高的点是A点
5.AB连线是某电场中的一条电场线，一正电荷从A点处自由释放，电荷仅在电场力作用下沿
34
电场线从A点到B点运动过程中的速度图象如图所示，比较A、B两点电势φ的高低和场强E的大小，下列说法中正确的是 ( )
A.φA＞φB，EA＞EB B.φA＞φB，EA＜EB C.φA＜φB，EA＞EB D.φA＜φB，EA＜EB
6.如图所示，平行的实线代表电场线，方向未知，电荷量为1×10-2C的正电荷在电场中只受电场力作用，该电荷由A点移到B点，动能损失了0.1 J，若A点电势为-10 V，则 ( )
①B点电势为零 ②电场线方向向左
③电荷运动的轨迹可能是图中曲线① ④电荷运动的轨迹可能是图中曲线② A.①
B.①②
C.①②③
D.①②④
7.如图所示，光滑绝缘的水平面上M、N两点各放一电荷量分别为+q和+2q，完全相同的金属球A和B，给A和B以大小相等的初动能E0（此时动量大小均为p0）使其相向运动刚好能发生碰撞，碰后返回M、N两点时的动能分别为E1和E2，动量大小分别为p1和p2，则 ( )
A.E1=E2=E0 p1=p2=p0 B.E1=E2＞E0 p1=p2＞p0
C.碰撞发生在M、N中点的左侧 D.两球不同时返回M、N两点
8.已知空气的击穿电场强度为2×106 V/m，测得某次闪电火花长为600 m，则发生这次闪电时放电路径两端的电势差U=_______.若这次闪电通过的电荷量为20 C，则释放的能量为_______.（设闪电的火花路径为直线） 9.如图所示，A、B、C、D是匀强电场中一正方形的四个顶点，已知A、B、C三点的电势分别为φA=15 V，φB =3 V，φC=-3 V，由此可得D点的电势φD=_______ V.
10.有两个带电小球m1与m2，分别带电+Q1和+Q2，在绝缘光滑水平面上，沿同一直线相向运动，当它们相距r时，速率分别为v1与v2，电势能为E，在整个运动过程中（不相碰）电势能的最大值为多少?
m1m2(v1v2)2
(Em=E+ )
2(m1m2)
11.如图所示，小平板车B静止在光滑水平面上，一可以忽略大小的小物块A静止在小车B的左端，已知物块A的质量为m，电荷量为+Q；小车B的质量为M，电荷量为-Q，上表面绝缘，长度足够长；A、B间的动摩擦因数为μ，A、B间的库仑力不计，A、B始终都处在场强大小为E、方向水平向左的匀强电场中.在t=0时刻物块A受到一大小为I，方向水平向右的冲量作用开始向小车B的右端滑行.求： （1）物块A的最终速度大小；
（2）物块A距小车B左端的最大距离.
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第3单元 带电粒子在电场中的运动
一、带电粒子在电场中的运动 1.带电粒子在匀强电场中的加速
φ 一般带电粒子所受的电场力远大于重力，所以可以认为只有电场力做
U0
功。由动能定理W=qU=ΔEK，此式与电场是否匀强无关，与带电粒子的运动性质、轨迹形状也无关。 o t
T/2 T 3T/2 2T 【例1】 如图所示，两平行金属板竖直放置，左极板接地，中间有小孔。
-U
右极板电势随时间变化的规律如图所示。电子原来静止在左极板小孔处。（不计重力作用）下列说法中正确的是 ( )
A.从t=0时刻释放电子，电子将始终向右运动，直到打到右极板上 B.从t=0时刻释放电子，电子可能在两板间振动
C.从t=T/4时刻释放电子，电子可能在两板间振动，也可能打到右极板上 D.从t=3T/8时刻释放电子，电子必将打到左极板上
2.带电粒子在匀强电场中的偏转
规律
U L d
①、速度规律
vxv0
qEL
vyat
mv0mdv0
②、位移规律
qUL tan
vyvx
qUL
2
dmv0
v0 m，q
θ
y
θ
xv0t
vt
y
12at222dmv0
qUL tan
2
yqUL
2x2dmv0
③、角度规律
tan
qUL
2
vxdmv0yqUL
tan 2
x2dmv0
vy
tan α ＝ 2 tan β
速度反向延长平分水平位移就象从水平位移的中点发出来一样
3、重力忽略与否
忽略重力――电子、质子、离子等微观的带电粒子 不忽略重力――尘埃、液滴、小球等 4、 示波器和示波管
示波管的原理图
5、带电物体在电场力和重力共同作用下的运动。
【例2】 已知如图，水平放置的平行金属板间有匀强电场。一根长l的绝缘细绳一端固定在O点，另一端系有质量为m并带有一定电荷的小球。小球原来静止在C点。当给小球一个水平冲量后，它可以在竖直面内绕O点做匀速圆周运动。若将两板间的电压增大为原来的3倍，求：要使小球从C点开始在竖直面内绕O点做圆周运动，至少要给小球多大的水平冲量？在这种情况下，在小球运动过程中细绳所受的最大拉力是多大？
【例3】 已知如图，匀强电场方向水平向右，场强E=1.5×106V/m，丝线长l=40cm，上端
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-
O C
+
θθ
C
系于O点，下端系质量为m=1.0×104kg，带电量为q=+4.9×10-10C的小球，将小球从最低点A由静止释放，求：（1）小球摆到最高点时丝线与竖直方向的夹角多大？（2）摆动过程中小球的最大速度是多大？
二、电容器
1.电容器——两个彼此绝缘又相隔很近的导体都可以看成一个电容器。
2.电容器的电容——电容器带电时，两极板就存在了电势差， 电容器的电量跟两极板的电势差的比值叫电容器的电容
－
电容＝
电量电势差
C
Q
表示电容器容纳电荷本领的物理量，是由电容器本身的性质（导体大小、形状、相U
对位置及电介质）决定的。
单位：法拉（F）、皮法（pF）、微法（μF） 1 F ＝ 10 6μF 1 μF ＝ 10 6 pF
3.平行板电容器的电容
静电计实验（测量电势差）
（1） 电计与金属板的连接方法 （2） 指针的偏角与电势差的关系 （3） 电容器的电量基本不变
（4） 变距离、正对面积、电介质（绝缘体）观察偏角的变化
C
s
4kd
介电常数的定义
ε为电介质的介电常数（极板间充满电介质使电容增大的倍数），s为正对面积、d为距离、k为静电力常量 （注
意：额定电压和击穿电压）
4.两种不同变化
电容器和电源连接如图，改变板间距离、改变正对面积或改变板间电解质材料，都会改变其电K 容，从而可能引起电容器两板间电场的变化。这里要分清两种常见的变化：
（1）电键K保持闭合，则电容器两端的电压恒定（等于电源电动势），这种情况下带电量而CQCUC，
SSU1
，E 4kdddd
（2）充电后断开K，保持电容器带电量Q恒定，这种情况下C
s
d
,U
d1
,E ss
【例4】 如图所示，在平行板电容器正中有一个带电微粒。K闭合时，该微粒恰好能
K 保持静止。在①保持K闭合；②充电后将K断开；两种情况下，各用什么方法能使该带电
M 微粒向上运动打到上极板？① ( ) ② ( )
A.上移上极板M B.上移下极板N C.左移上极板M D.把下极板N接地 N 【例5】 计算机键盘上的每一个按键下面都有一个电容传感器。电容的计算公式是S
C，其中常量ε=9.0×10-12Fm-1，S表示两金属片的正对面积，d表示两金属片间的
d
距离。当某一键被按下时，d发生改变，引起电容器的电容发生改变，从而给电子线路发出相应的信号。已知两金属片的正对面积为50mm2，键未被按下时，两金属片间的距离为0.60mm。只要电容变化达0.25pF，电子线路就能发出相应的信号。那么为使按键得到反应，至少需要按下多大距离？ A
【例6】一平行板电容器充电后与电源断开，负极板接地，在两极板间有一正电荷（电量很小）固定在P点，如图所示，以E表示两极板间的场强，U表示电容器的电压，W表示正电荷在P点的电势能。若负极板不动，将正极板移到图中虚线所示的位置 ( )
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A U变小，E不变 B E变大，W变大 C U变小，W不变 D U不变，W不变
5. 电容器与恒定电流相联系
在直流电路中，电容器的充电过程非常短暂，除充电瞬间以外，电容器都可以视为断路。应该理解的是：电容器与哪部分电路并联，电容器两端的电压就必然与那部分电路两端电压相等。
【例7】 如图电路中，C22C1，R22R1，忽略电源电阻，下列说法正确的是（ ）
①开关K处于断开状态，电容C2的电量大于C1的电量；②开关处于断开状态，电容C1的电量大于C2的电量；③开关处于接通状态，电容C2的电量大于C1的电量；④开关处于接
C1
K R1
R2 C2 通状态，电容C1的电量大于C2的电量。
A.① B.④ C.①③ D.②④ E
6、电容器力学综合
R4 R3【例8】如图所示，四个定值电阻的阻值相同都为R，开关K闭合时，有一质量为m带电量为q的小球静止于平行板电容器板间的中点O。现在把开关K断开，此小球向一个极板运动，
K R2C 并与此极板相碰，碰撞时无机械能损失，碰撞后小球恰能运动到另一极板处，设两极板间的距
离为d，电源内阻不计，试计算：⑴电源电动势ε。⑵小球和电容器一个极板碰撞后所带的R1 E 电量q。
三、针对训练
1.如图所示，虚线a、b和c 是某静电场中的三个等势面，它们的电势分别为φa、φb和φc，φa＞φb＞φc，一带正电的粒子射入电场中，其运动轨迹如实线KLMN所示，由图可知 ( )
A.粒子从K到L的过程中，电场力做负功 B.粒子从L到M的过程中，电场力做负功 C.粒子从K到L的过程中，静电势能增加 D.粒子从L到M的过程中，动能减小
2.离子发动机飞船，其原理是用电压U加速一价惰性气体离子，将它高速喷出后，
飞船得到加速，在氦、氖、氩、氪、氙中选用了氙，理由是用同样电压加速，它喷出时 ( )
A.速度大 B.动量大 C.动能大 D.质量大
3.a、b、c三个α粒子由同一点垂直场强方向进入偏转电场，其轨迹如图所示，其中b恰好飞出电场，由此可以肯定 ( )
①在b飞离电场的同时，a刚好打在负极板上 ②b和c同时飞离电场
③进入电场时，c的速度最大，a的速度最小 ④动能的增量相比，c的最小，a和b的一样大 A.① B.①② C.③④ D.①③④
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O
4.在图所示的实验装置中，充电后的平行板电容器的A极板与灵敏的静电计相接，极板B接地.若极板B稍向上移动一点，由观察到静电计指针的变化，作出电容器电容变小的依据是 ( )
A.两极间的电压不变，极板上电荷量变小 B.两极间的电压不变，极板上电荷量变大
C.极板上的电荷量几乎不变，两极间的电压变小 D.极板上的电荷量几乎不变，两极间的电压变大
5.如图所示，电子在电势差为U1的加速电场中由静止开始运动，然后射入电势差为U2的两块平行极板间的电场中，射入方向跟极板平行，整个装置处在真空中，重力可忽略，在满足电子能射出平行板区的条件下，下述四种情况中，一定能使电子的偏转角θ变大的是 （ ）
A.U1变大、U2变大 B.U1变小、U2变大 C.U1变大、U2变小 D.U1变小、U2变小
6密立根油滴实验进一步证实了电子的存在，揭示了电荷的非连续性.如图所示是密立根实验的原理示意图，设小油滴质量为m，调节两板间电势差为U，当小油滴悬浮不动时，测出两板间距离为d.可求出小油滴的电荷量q=_______.
7.水平放置的平行板电容器的电容为C，板间距离为d，极板足够长，当其带电荷量为Q时，沿两板中央水平射入的带电荷量为q的微粒恰好做匀速直线运动.若使电容器电荷量增大一倍，则该带电微粒落到某一极板上所需的时间_______.
8.来自质子源的质子（初速度为零），经一加速电压为800 kV的直线加速器加速，形成电流强度为1 mA的细柱形质子流，已知质子电荷量e=1.60×10-19 C，这束质子流每秒打在靶上的质子数为______，假定分布在质子源到靶之间的加速电场是均匀的，在质子束中与质子源相距l和4l的两处，各取一段极短的相等长度的质子流，其中的质子数分别为n1和n2，则n1/n2=______.
第4单元 电场中的导体
一、金属导体的特征
整块金属 ＝ 正离子 ＋ 自由电子
Na 2 8 1
（热振动） （自由移动）
二．静电感应现象：放入电场中的导体，其内部的自由电子在电场力的作用下向电场的反方向作定向移动，致使导体的两端分别出现等量的正、负电荷。这种现象叫静电感应现象。
三．静电平衡状态
导体(包括表面)没有电荷定向移动的状态叫做静电平衡状态。 四．处于静电平衡状态导体的性质 (1)导体内部的场强处处为零。
(2)导体表面上任何一点的场强方向跟该点的表面垂直。
(3)导体所带的净电荷只分布在导体的外表面上，导体内部没有净电荷。
(4)处于静电平衡状态的导体是等势体，导体表面是等势面。图是孤立导体周围的等势面和电场线形状。 (5)地球是个大导体，静电平衡状态的地球以及跟它相连的导体都是等势体。
(6)孤立导体表面的电荷分布特点：在孤立导体表面，向外突出的地方电荷较密，比较平坦的地方电荷较疏，向里凹进的地方电荷最疏。因而导体尖端电荷面密度较大致使该处场强较大，从而可能使得空气被电离成导体而发生尖端放电现象。夜间看到的高压电线周围笼罩着的一层绿色光晕(电晕)就是一种微弱的尖端放电形式。尖端放电致使高压线及高压电极上电荷的丢失，
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因此，凡对地有高压的导体(或两个相互有高压的导体)，其表面都应尽量光滑。避雷针即利用尖端放电的道理制成的。
五、静电屏蔽
导体网（壳）在静电平衡时，内部场强处处为零，这样就可以保护它所包围的区域，使区域内不受外界电场的影响。叫做静电屏蔽。” 六．静电的防止和利用
(1)危害：静电由于吸附尘埃会给印刷、制药、合成纤维等工业生产中带来危害。静电对高精密仪器有干扰甚至毁坏作用。静电的最大危害是有可能因静电火花点燃某些易燃物质而引起爆炸。
(2)防止：最简单而又最可靠的办法是用导线把设备接地，这样可以把电荷引入大地，避免静电积累。油罐车尾部拖的铁链就是一根接地线。调节空气的温度也是防止静电危害的有效方法。
(3)利用：静电利用依据的物理原理几乎都是让带电的物质微粒在电场力的作用下，奔向并吸附到电极上。如图1-25是静电除尘示意图，除尘器由金属管A和管中的金属丝B组成，A接高压电源正极，B接高压电源负极。A、B之间有很强的电场，而且距B越近电场越强。B附近的空气分子被强电场电离为电子和正离子，正离子跑到B上得到电子又变成空气分子。电子奔向正极A的过程中吸附到煤粉上便煤粉带负电，吸附到正极A上，排除的烟就成为清洁的了。
【例1】 图1-27中平行金属板A、B间距离为6厘米，电势差保持为300伏，将一块3厘米厚的矩形空腔导体放入A、B之间，它的左侧面P与A平行正对且离A板1厘米。则A、B两板正中央一点C的电势因此而发生怎样的变化？ （ ）
A．变为零； B．仍为150伏； C．升高50伏； D．降低50伏。
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本文来源：https://www.wddqxz.cn/9a1d5df76c1aff00bed5b9f3f90f76c661374c6a.html
2022-07-11
