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第18讲 取整计算
任何一个小数(或分数)都可以分成整数和纯小数(或真分数)两部分。在数学计算中,有时会略去数字的小数部分,而只取它的整数部分。比如,做
得到正确答案是2件。为了方便,我们引进符号[ ]: [a]表示不超过数a的最大整数,称为a的整数部分。
与+,-,×,÷符号一样,符号[]也是一种
运算,叫取整运算。显然,取整运算具有以下性质:对于任意的数字a,b, (1)[a]≤a; (2)a≤[a]+1;
(3)[a]+[b]≤[a+b]; (4)若a≤b,则[a]≤[b];
( 5)若n是整数,则[ a+n]=[a]+n。 同学们可以自己举些例子来验证这五条性质。 例 1计算[13÷[π]×4]。
例2 1000以内有多少个数能被7整除?
例3 求1~1000中能被2或3或5整除的数的个数。
第19讲 近似值与估算
在计数、度量和计算过程中,得到和实际情况丝毫不差的数值叫做准确数。但在大多数情况下,得到的是与实际情况相近的、有一定误差的数,这类近似地表示一个量的准确值的数叫做这个量的近似数或近似值。例如,测量身高或体重,得到的就是近似数。又如,统计全国的人口数,由于地域广人口多,统计的时间长及统计期间人口的出生与死亡,得到的也是近似数。
用位数较少的近似值代替位数较多的数时,要有一定的取舍法则。要保留的数位右边的所有数叫做尾数,取舍尾数的主要方法有:
(1)四舍五入法。四舍,就是当尾数最高位上的数字是不大于4的数时,就把尾数舍去;五入,就是当尾数最高位上的数字是不小于5的数时,把尾数舍去后,在它的前一位加1。例如:7.3964„,截取到千分位的近似值是7.396,截取到百分位的近似值是7.40。
(2)去尾法。把尾数全部舍去。例如:7.3964„,截取到千分位的近似值是7.396,截取到百分位的近似值是7.39。
(3)收尾法(进一法)。把尾数舍去后,在它的前一位加上1。例如:7.3964„,截取到千分位的近似值是7.397,截取到百分位的近似值是7.40。
表示近似值近似的程度,叫做近似数的精确度。
在上面的三种方法中,最常用的是四舍五入法。一般地,用四舍五入法截得的近似数,截到哪一位,就说精确到哪一位。
例1有13个自然数,它们的平均值精确到小数点后一位数是26.9。那么,精确到小数点后两位数是多少?
分析与解:13个自然数之和必然是整数,因为此和不是13的整数倍,所以平均值是小数。由题意知,26.85≤平均值<26.95,所以13个数之和必然不小于26.85的13倍,而小于26.95的13倍。 26.85×13=349.05, 26.95×13=350.35。
因为在349.05与350.35之间只有一个整数350,所以13个数之和是350。 350÷13=26.923„
当精确到小数点后两位数时,是26.92。
例1中所用的方法可称为“放缩法”。对于一个数,如例1中13个数的平均数,如果不知道它的确切数值,那么可以根据题设条件,适当地将它放大或缩小,再进一步确定它的具体数值。当然,这里的“放大”与“缩小”都要适当,如果放得过大或缩得过小,则可能无法确定正确值,这时“放缩”就失败了。
例3 求下式的整数部分:
例4 求下式的整数部分:
1.22×8.03+1.23×8.02+1.24×8.01。
例5某人执行爆破任务时,点燃导火线后往70米开外的安全地带奔跑,其奔跑的速度为7米/秒。已知导火线燃烧的速度是0.112米/秒。问:导火线的长度至少多长才能确保安全?(精确到0.1米)
第20讲 数值代入法
有一些看起来缺少条件的题目,按常规解法似乎无法求解,但是仔细分析发现,题中只涉及几个存在着倍数或比例关系的数量,而题目中缺少的条件,对于答案并无影响,这时就可以采用“数值代入法”,即对于题目中“缺少”的条件,假设一个数代入进去(当然假设的这个数应尽量方便计算),然后求出解答。
例1 足球赛门票15元一张,降价后观众增加一倍,收入增加五分之一。问:一张门票降价多少元?
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