首届广东省大学生数学竞赛试卷(经管类)

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广东省大学生数学竞赛试卷参考答案(经济管理类)

一、(本题30分, 每小题3分) 填空题

f(x)

ln1

sin2x

1. 已知limx

x051





3, 则极限limf(x) .

x0x2

2．设f(x)对于x(,)满足方程(x1)f(x)2(x1)[f(x)]31e1x.若f(x)在x1取得极值，则它是 .（填极大值还是极小值） 3. 极限lim

nx

dx ．

n01n2x4

1

4. 设函数f(x)满足5．极限





0

[f(x)f(x)]sinxdx8,f(0)3, 则f()_________.

 .

(x,y)(0,0)

lim

x2y2sinx2y2

(xy)

2

23

6. 由方程F(cxaz,cybz)0确定了函数zz(x,y), 则

a

zzb . xy

7.设fx,y可微，f1,22,fx1,23,fy1,24，若gxfx,fx,2x，



则g'1 .

8.设函数f(x)连续, f(0)2, 记F(t)

2

xy2t2



f(x2y2)dxdy (t0), 则

F(0) .

9. 设y1(x), y2(x), y3(x)是微分方程yp(x)yq(x)yf(x)的三个不同的解，且

y1(x)y2(x)

不恒等于常数，则微分方程的通解为 .

y2(x)y3(x)



4n1

x

n2ne110．级数(1)4xn1e1

的收敛区间为 .

二、（本题10分）设函数f(x)具有二阶连续导数，且f(0)0, 证明：函数

-可编辑-


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f(x)

,x0

g(x)x

f(0),x0

具有一阶连续导数.





三、（本题10分） 设f(x)在[0,1]上可导, 当0x1时, 0f(x)2; 且对区间(0,1)内所有x有f(x)2, 证明: 在[0,1]上有且仅有一点, 使得f()2.

四、（本题10分）设函数f(x)在区间[0,1]上连续，并设



10

f(x)dxA，求





10

dxf(x)f(y)dy.

x

1

五、（本题10分）设f(x)sinx



x0

其中f(x)为连续函数，求f(x). (xt)f(t)dt，

-可编辑-


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六、（本题10分）设f(x)在区间[1,1]上连续且为奇函数, 区域D由曲线

y4x2与y3x、x1所围成, 求I1f(x)ln(y1y2)dxdy.





七、（本题10分）

八、（本题10分）

D

设f(x)在区间[0,1]上有连续导数, n为正整数, 证明:



1

0

xnf(x)dx

f(1)no1

n

(n). n(n1)

设a0, 判别级数



a

2

n1

(1a)(1a2)L(1an

)的敛散性. -可编辑-

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