考研数学一解答题专项强化真题试卷22(题后含答案及解析)

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考研数学一解答题专项强化真题试卷22 (题后含答案及解析)

题型有：1.

1． (1999年)为清除井底的污泥，用缆绳将抓斗放入井底．抓起污泥后提出井口，已知井深30m，抓斗自重400 N，缆绳每米重50 N，抓斗抓起的污泥重2000N．提升速度为3 m/s，在提升过程中，污泥以20N／s的速率从抓斗缝隙中漏掉．现将抓起污泥的抓斗提升到井口，问克服重力需作多少焦耳的功? (说明：①l N×1 m=1 J；m，N，s，J分别表示米、牛顿、秒、焦耳；②抓斗的高度及位于井口上方的缆绳长度忽略不计)



正确答案：解1 作x轴如图2．6．将抓起污泥的抓斗提升到井口需作功 ω=ω1+ω2+ω3 其中ω1是克服抓斗自重作的功，ω2是克服缆绳重量

所作的功；ω3是提出污泥所作的功．由题设可知 ω1=400×30=12 000 dω2=50(30—x)dx从而 在时间间隔[t，t+dt]内提升污泥所作的功为 dω3=3(2 000—20t)dt将污泥从井底提升到井口共需时间所以则共需作功 ω=1 2 000+22 500+57 000=91 500 (J) △解2 以时间t为积分变量，在时间间隔[t，t+dt]内克服重力所作的功为 dω=[400+(30—3t)50+(2 000—20t)=3dt 涉及知识点：一元函数积分学



2． (2002年试题。八)设有一小山，取它的底面所在的平面为xOy坐标面，其底部所占的区域为D={(x，y){x2+y2一xy≤75}，小山的高度函数为h(x，y)=75一x2一y2+xy．(1)设M(x0，y0)为区域D上一点，问h(x，y)在该点沿平面上什么方向的方向导数最大?若记此方向导数的最大值为g(x0，y0)，试写出g(x0，y0)的表达式；(2)现欲利用此小山开展攀岩活动，为此需要在山脚寻找一上山坡度最大的点作为攀登的起点．也就是说，要在D的边界线x2+y2一xy=75上找出使(1)中的g(x，y)达到最大值的点．试确定攀登起点的位置．



正确答案：(1)由题设，结合方向导数取最大值的方向是梯度方向这一性质，则因此h(x，y)沿方向(y0—2x0)i+(x0一2y0)j方向导数为最大值，且此最大值为(2)令f(x，y)=g2(x，y)=(y一2x)2+(x一2y)2，由题意只需求f(x，y)在约束条件φ(x，y)=75一x2一y2+xy=0下的条件最大值点，由拉格朗日乘数法，记F(x，y，λ)=f(x，y)+Aλφ(x，y)=(y一2x)2+(x一2y)2+λ(75一x2一y2+xy)则由可解得λ=2或x+y=0．当λ=2时，可解出可能条件极值点为当x+y=0时，可解出可能条件极值点为(5，一5)，(一5，5)．由于，而f(x，y)｜(5,-5)=f(x，y)｜(-5,5)=450所以点(5，一5)和点(一5，5)可作为攀登的起点．

解析：许多求极值和最值的问题中，需根据实际问题首先建立目标函数或约束条件，然后再求极，最值．本题中因｜gradh｜为方向导数的最大值，故而将代为求｜gradh｜在条件x2+y2一xy=75F的条件极值，用拉格朗日乘数法求该条件极值． 知识模块：多元函数微分学



3． (07年)求函数f(x，y)=x2+2y2一x2y2在区域D={(x，y)|x2+y2≤4，y

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