【教学随笔】用列举法解古典概型问题

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用列举法解古典概型问题

如果已知类的每一个元素，而且元素个数“相当有限”，我们可以通过“列举”其所有元素的方法来表示这个类，在古典型概型中，列举法显得尤为重要.

例1同时抛掷两枚骰子，求至少有一个5点或6点的概率. 分析：利用列举法求概率.

解：至少有一个5点或6点的对立事件是没有5点或6点.如下表，没有5点或6点的结果共有16个，没有5点或6点的概率为. 1 2 3 4 5 6

1 （1，1） （2，1） （3，1） （4，1） （5，1） （6，1）

2 （1，2） （2，2） （3，2） （4，2） （5，2） （6，2）

3 （1，3） （2，3） （3，3） （4，3） （5，3） （6，3）

4 （1，4） （2，4） （3，4） （4，4） （5，4） （6，4）

5 （1，5） （2，5） （3，5） （4，5） （5，5） （6，5）

6 （1，6） （2，6） （3，6） （4，6） （5，6） （6，6）

至少有一个5点或6点的概率为.

评注：在计算古典概型的概率时，只要所有可能结果的数量不是很大，列举法是我们常用的一种方法，列表和树状图是行之有效的列举法.当然此题通过正面考虑，利用列表法结果也比较容易求得.

例2在10产品中，有5件是一等品，3件是二等品，2件是三等品，从中任取3件，计算：

(1)3件都是一等品的概率；

(2)2件是一等品、1件是二等品的概率； (3)一等品、二等品、三等品各有1件的概率.

分析：从10件产品中任取3件的不同结果是有限的，且这些结果也是等可能的，故属于古典概型，用求解，其中正确求出与是关键，也是难点.

解：不妨对10件产品编号，其中1～5号为一等品，6～8号为二等品，9～10号为三等品，从10件产品中任取3件可能出现的结果有：

(1，2，3) (1，2，4)…(1，2，10) 8种 (1，3，4) (1，3，5)…(1，3，10) 7种 (1，4，5) (1，4，6)…(1，4，10) 6种 …

(1，9，10) 1种

(2，3，4) (2，3，5)…(2，3，10) 7种 (2，4，5) (2，4，6)…(2，4，10) 6种 …

(2，9，10) 1种

…依次分类可得不同结果总数 (种).

(1)设事件为“3件都是一等品”，包含的基本事件有(1，2，3)，(1，2，4) ，(1，2，5)，(1，3，4)，(1，3，5)，(2，3，4) ，(2，3，5)，(1，4，5)，(2，4，5) ，(3，4，5)共10种.∴


(2)设事件为“2件一等品，1件二等品”，则取到2件一等品有10种不同结果，再取到1件二等品有3种不同结果，所以事件包含的基本事件数.

∴.

(3)设事件为“一等品、二等品、三等品各有1件”，则事件包含的基本事件数.∴.

评注：(1)这种随机抽样的例子广泛存在于实际生活中，如产品检验、试题抽取等，由于抽取时，抽到任何一件都是等可能的，且不同结果是有限的，故属于古典概型，但当被抽取产品数较大时，与的计算需用今后学到的排列与组合知识才能解决.(2)列举法写出试验的所有等可能基本事件是有局限性的，望注意.

例3在箱子中装有十张卡片，分别写有1到10的十个整数，从箱子中任取一张卡片，记下它的读数，然后再放回箱子中；第二次再从箱子中任取一张卡片，记下它的读数为，试求是10的倍数的概率.

分析：可用逐一列举的方法求古典概型基本事件个数.

解：先后两次抽取卡片时，每次都有10种结果，故有序实数对共有个. 是10的倍数，它包含下列数对：

(1，9)，(2，8)，(3，7)，(4，6)，(5，5)，(6，4)，(7，3)，(8，2)，(9，1)，(10，10)共10个.

故是10的倍数概率.

评注：在应用列举法时，要做到不重不漏，有任何的疏忽都会产生不必要的错误.

例4把一颗骰子投掷2次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为，第二次出现的点数为，已知方程组解答下列各题.

(1)求方程组只有一个解的概率； (2)求方程组只有正数解的概率.

分析：列出基本事件数，建立概率模型. 解：事件的基本事件有(个) 由方程组可得

(1)方程组只有一个解，需满足，即.

而的事件有(1，2)，(2，4) ，(3，6)，共3个，故的事件有33个， 所以方程组只有一个解的概率为. (2)方程组只有正数解，需，且 即或

包含的事件有13个：

(2，1)，(3，1)，(4，1)，(5，1)，(6，1)，(2，2)，(3，2)，(4，2)，(5，2)，(6，2) ，(1，4)，(1，5)，(1，6).

因此所求的概率为.

评注：此题将二次方程组的解法与古典概型相结合，较为新颖.

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