【教学随笔】用列举法解古典概型问题

2022-04-24 15:37:15   文档大全网     [ 字体: ] [ 阅读: ]

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用列举法解古典概型问题

如果已知类的每一个元素,而且元素个数相当有限,我们可以通过列举其所有元素的方法来表示这个类,在古典型概型中,列举法显得尤为重要.

1同时抛掷两枚骰子,求至少有一个5点或6点的概率. 分析:利用列举法求概率.

解:至少有一个5点或6点的对立事件是没有5点或6.如下表,没有5点或6点的结果共有16个,没有5点或6点的概率为. 1 2 3 4 5 6

1 11 21 31 41 51 61

2 12 22 32 42 52 62

3 13 23 33 43 53 63

4 14 24 34 44 54 64

5 15 25 35 45 55 65

6 16 26 36 46 56 66

至少有一个5点或6点的概率为.

评注:在计算古典概型的概率时,只要所有可能结果的数量不是很大,列举法是我们常用的一种方法,列表和树状图是行之有效的列举法.当然此题通过正面考虑,利用列表法结果也比较容易求得.

210产品中,有5件是一等品,3件是二等品,2件是三等品,从中任取3件,计算:

(1)3件都是一等品的概率;

(2)2件是一等品、1件是二等品的概率; (3)一等品、二等品、三等品各有1件的概率.

分析:10件产品中任取3件的不同结果是有限的,且这些结果也是等可能的,故属于古典概型,用求解,其中正确求出与是关键,也是难点.

解:不妨对10件产品编号,其中15号为一等品,68号为二等品,910号为三等品,从10件产品中任取3件可能出现的结果有:

(123) (124)(1210) 8 (134) (135)(1310) 7 (145) (146)(1410) 6

(1910) 1

(234) (235)(2310) 7 (245) (246)(2410) 6

(2910) 1

…依次分类可得不同结果总数 ().

(1)设事件为“3件都是一等品”,包含的基本事件有(123)(124) (125)(134)(135)(234) (235)(145)(245) (345)10.


(2)设事件为“2件一等品,1件二等品”,则取到2件一等品有10种不同结果,再取到1件二等品有3种不同结果,所以事件包含的基本事件数.

.

(3)设事件为“一等品、二等品、三等品各有1件”,则事件包含的基本事件数..

评注:(1)这种随机抽样的例子广泛存在于实际生活中,如产品检验、试题抽取等,由于抽取时,抽到任何一件都是等可能的,且不同结果是有限的,故属于古典概型,但当被抽取产品数较大时,与的计算需用今后学到的排列与组合知识才能解决.(2)列举法写出试验的所有等可能基本事件是有局限性的,望注意.

3在箱子中装有十张卡片,分别写有110的十个整数,从箱子中任取一张卡片,记下它的读数,然后再放回箱子中;第二次再从箱子中任取一张卡片,记下它的读数为,试求是10的倍数的概率.

分析:可用逐一列举的方法求古典概型基本事件个数.

解:先后两次抽取卡片时,每次都有10种结果,故有序实数对共有个. 10的倍数,它包含下列数对:

(19)(28)(37)(46)(55)(64)(73)(82)(91)(1010)10.

故是10的倍数概率.

评注:应用列举法时,要做到不重不漏,有任何的疏忽都会产生不必要的错误.

4把一颗骰子投掷2次,观察出现的点数,并记第一次出现的点数为,第二次出现的点数为,已知方程组解答下列各题.

(1)求方程组只有一个解的概率; (2)求方程组只有正数解的概率.

分析:列出基本事件数,建立概率模型. 解:事件的基本事件有() 由方程组可得

(1)方程组只有一个解,需满足,即.

而的事件有(12)(24) (36),共3个,故的事件有33个, 所以方程组只有一个解的概率为. (2)方程组只有正数解,需,且 即或

包含的事件有13个:

(21)(31)(41)(51)(61)(22)(32)(42)(52)(62) (14)(15)(16).

因此所求的概率为.

评注:此题将二次方程组的解法与古典概型相结合,较为新颖.


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