椭圆基本知识点总结

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椭圆知识点

知识点一：椭圆的定义

平面内一个动点P到两个定点Fi、F2的距离之和等于常数(PR |PF2 2a F1F2),这个 动点P的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点,两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 注意：假设PFiPF2 | IF1F2 ,那么动点P的轨迹为线段F1F2 ;

假设PFi | PF2 | |FiF2 ,那么动点P的轨迹无图形.

知识点二：椭圆的简单几何性质

2222

椭圆：与4 1 (a b 0)与 '二1 (a b 0)的简单几何性质

a ba b

标准方程

r



22 -y

4 1 (a b 0) a b 4^1 (a b 0) a b





22

y









r

图形





瓠

A

_1



%

隹百 八、、八、、 F1( c,0), F2(c,0)

1

4V

一心

F1(0, c), F2(0,c)

焦距

| F1F2 | 2c 1

1 a, 1 y 1 b x

关于x轴、y轴和原点对称

F1F2 1 2c x b ,

1 y 1 a

1

范围

1

对称性

性质 顶点

i

(a,0), (0, b)

长轴长=2a,短轴长=2b

(0, a) , ( b,0)

1

轴长

1

离心率

!

e (0 e 1) a

c

AF1 I IA2F2



a c； AF2 /)

A2F1a c ； a c PE a c ；

(p是椭圆


2

1 .椭圆标准方程中的二个重a,b,c的几何息义a

2

.通径：过焦点且垂直于长轴的弦,其长2

3 .最大角:p是椭圆上一点,当p是椭圆的短轴端点时,

为最大角

4 .焦点三角形的面积S PF1F2b tan 2,其中F1PF2

5 .用待定系数法求椭圆标准方程的步骤.

(1)作判断：依据条件判断椭圆的焦点在 x轴上还是在y轴上. (2)设方程：

①依据上述判断设方程为 与%=1(a b 0)或 j 4=1(a b 0)

②在不能确定焦点位置的情况下也可设mX?+ ny=1(m> 0, n>0且 m n). (3)找关系,根据条件,建立关于 a, b, c或m n的方程组.

2222

2

a bb a 2

(4)解方程组,代入所设方程即为所求.

6 .点与椭圆的位置关系：

.<1,点在椭圆内, b

2

.=1,点在椭圆上, b

2

2

2

4>1,点在椭圆外.

b

7 .直线与椭圆的位置关系

2

设直线方程y=kx+m,假设直线与椭圆方程联立,消去 y得关于x的一元二次方程：ax+ bx + c = 0(aw0).

(1) A>0,直线与椭圆有两个公共点；(2) A = 0,直线与椭圆有一个公共点； (3) A<0,直线与椭圆无公共点. 8 .弦长公式：

假设直线l:y kx b与圆锥曲线相交与 A、B两点,A (x1,yjB(x2,y2)那么弦长 AB , 〔x1 x2〕2 〔% y：.便 x2〕2 〔kx〔 kx2〕21 k2 x〔 x2

1 k2 , (XI x2)2 4XIX2

9 .点差法：

就是在求解圆锥曲线题目中,交代直线与圆锥曲线相交所截的线段中点坐标的时候,利

用直线和圆锥曲线的两个交点,并把 交点代入圆锥曲线的方程,并作差.求出 直线的斜率, 然后利用中点求出直线方程.

步骤：①设直线和圆锥曲线交点为(片方J , 旭曲 ,其中点坐标为(工.厅口),那么得 到关系式

I 勺4诵=2刈,为+也占2劭.

②把(司/J ,(孙⑸ 分别代入圆锥曲线的解析式,并作差,利用平方差公式对 结果进行因式分解.其结果为 m(x1 x2 )(x1 x2) n(y1 y2)(y1 y2) 0

p_ (fi-y?)

③利用 一(司一短)求出直线斜率,代入点斜式得直线方程 为,—'

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