高数

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1习题18

1. 研究下列函数的连续性, 并画出函数的图形:

x2 0x1

(1)f(x);

2x 1x2x 1x1

(2)f(x).

1 |x|1

解 (1)已知多项式函数是连续函数, 所以函数f(x)在[0, 1)和(1, 2]内是连续的. f(x)lim(2x)1 f(x)limx21, lim 在x1处, 因为f(1)1, lim

x1

x1

x1

x1

所以limf(x)1, 从而函数f(x)在x1处是连续的.

x1

综上所述，函数f(x)在[0, 2]上是连续函数. (2)只需考察函数在x1和x1处的连续性.

在x1处, 因为f(1)1, limf(x)lim11f(1), limf(x)limx1f(1), 所以

x1

x1

x1

x1

函数在x1处间断, 但右连续.

f(x)limx1f(1), limf(x)lim11f(1), 所以函数在x1处 在x1处, 因为f(1)1, lim

x1

x1

x1

x1

连续.

综合上述讨论, 函数在(, 1)和(1, )内连续, 在x1处间断, 但右连续.

2. 下列函数在指出的点处间断, 说明这些间断点属于哪一类, 如果是可去间断点, 则补充或改变函数的定义使它连续: x21

(1)y2, x1, x2;

x3x2

(2)y

x

, xk, xk (k0, 1, 2,   ); tanx2

1

(3)ycos2, x0;

xx1 x1

(4)y, x 1.

3 x x1

x21(x1)(x1)

 解 (1)y2. 因为函数在x2和x1处无定义, 所以x2和x1是函数

x3x2(x2)(x1)

的间断点.

x21

, 所以x2是函数的第二类间断点; 因为limylim2

x2x2x3x2


因为limylim

x1

(x1)

2, 所以x1是函数的第一类间断点, 并且是可去间断点. 在x1处,

x1(x2)

令y2, 则函数在x1处成为连续的. (2)函数在点xk(kZ)和xk 因lim



(kZ)处无定义, 因而这些点都是函数的间断点. 2

x

(k0), 故xk(k0)是第二类间断点;

xktanxx

1,

x0tanx

lim

xk

因为lim



2

x 

0(kZ), 所以x0和xk(kZ) 是第一类间断点且是可tanx2

去间断点.

令y|x01, 则函数在x0处成为连续的; 令xk

 

时, y0, 则函数在xk处成为连续的. 22

11

在x0处无定义, 所以x0是函数ycos2的间断点. 又因为xx

(3)因为函数ycos2

1

limcos2不存在, 所以x0是函数的第二类间断点. x0x

f(x)lim(x1)0limf(x)lim(3x)2, 所以x1是函数的第一类不可去间断 (4)因为lim

x1

x1

x1

x1

点.

1x2n

x的连续性, 若有间断点, 判别其类型. 3. 讨论函数f(x)lim

n1x2n

x |x|1

1x2n

x0 |x|1. 解 f(x)lim

n1x2n

x |x|1

在分段点x1处, 因为limf(x)lim(x)1, limf(x)limx1, 所以x1为函数的

x1

x1

x1

x1

第一类不可去间断点.

f(x)limx1, limf(x)lim(x)1, 所以x1为函数的第一类 在分段点x1处, 因为lim

x1

x1

x1

x1

不可去间断点.

4. 证明: 若函数f(x)在点x0连续且f(x0)0, 则存在x0的某一邻域U(x0), 当xU(x0)时, f(x)0.

证明 不妨设f(x0)>0. 因为f(x)在x0连续, 所以limf(x)f(x0)0, 由极限的局部保号性定理,

xx0

存在x0的某一去心邻域U(x0), 使当xU(x0)时f(x)>0, 从而当xU(x0)时, f(x)>0. 这就是说, 则存在x0的某一邻域U(x0), 当xU(x0)时, f(x)0.




5. 试分别举出具有以下性质的函数f(x)的例子:

11

(1)x0, 1, 2, , , n, , 是f(x)的所有间断点, 且它们都是无穷间断点;

2n

(2)f(x)在R上处处不连续, 但|f(x)|在R上处处连续; (3)f(x)在R上处处有定义, 但仅在一点连续. 解 函数f(x)csc(x)csc

11

在点x0, 1, 2, , , n, , 处是间断的且这些点是函数的无穷间断点.

解(2)函数f(x)1 1 解(3)函数f(x)x 

x

x2n

xQ

xQ在R上处处不连续, 但|f(x)|1在R上处处连续.

xQ

xQ在R上处处有定义, 它只在x0处连续.

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