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考点四:小船渡河模型
1.(小船渡河问题)小船在200 m宽的河中横渡,水流速度是2 m/s,小船在静水中的航速是4 m/s.求: (1)要使小船渡河耗时最少,应如何航行?最短时间为多少? (2)要使小船航程最短,应如何航行?最短航程为多少?
答案 (1)船头正对河岸航行耗时最少,最短时间为50 s.(2)船头偏向上游,与河岸成60°角,最短航程为200 m. d200
解析 (1)如图甲所示,船头始终正对河岸航行时耗时最少,即最短时间tmin== s=50 s.
v船4
(2)如图乙所示,航程最短为河宽d,即最短航程为200 m,应使v合的方向垂直于河岸,故船头应偏向上游,与v水21
河岸成α角,有 cos α===,解得α=60°.
v船42
2、一小船渡河,河宽d=180 m,水流速度v1=2.5 m/s.若船在静水中的速度为v2=5 m/s,求: (1)欲使船在最短的时间内渡河,船头应朝什么方向?用多长时间?位移是多少? (2)欲使船渡河的航程最短,船头应朝什么方向?用多长时间?位移是多少?
答案 (1)船头垂直于河岸 36 s 905 m (2)船头向上游偏30° 243 s 180 m
3、已知某船在静水中的速率为v1=4 m/s,现让船渡过某条河,假设这条河的两岸是理想的平行线,河宽为d=100 m,河水的流动速度为v2=3 m/s,方向与河岸平行.试分析:
(1)欲使船以最短时间渡过河去,船的航向怎样?最短时间是多少?到达对岸的位置怎样?船发生的位移是多大?
(2)欲使船渡河过程中的航行距离最短,船的航向又应怎样?渡河所用时间是多少?
解析 (1)根据运动的独立性和等时性,当船在垂直河岸方向上的分速度v⊥最大时,渡河所用时间最短.设船头指向上游且与上游河岸夹角为α,其合速度v与分运动速度v1、v2的矢量关系如图所示.河水流速v2平行于河岸,不影响渡d
河快慢,船在垂直河岸方向上的分速度v⊥=v1sin α,则船渡河所用时间为t=.
v1sin α
显然,当sin α=1即α=90°时,v⊥最大,t最小,此时船身垂直于河岸,船头始终垂直指向对岸,但船实际的航向斜向下游,如图所示. d100
渡河的最短时间tmin== s=25 s船的位移为l=v 21+v 22tmin=42+32×25 m=125 m
v14船渡过河时到达正对岸的下游A处,其顺水漂流的位移为x=v2tmin=3×25 m=75 m.
(2)由于v1>v2,故船的合速度与河岸垂直时,船的航行距离最短.设此时船速v1的方向(船头的指向)斜向上游,且v233
与河岸成θ角,如图所示,则cos θ==,θ=arccos .
v144
d1001007
船的实际速度为v合=v 21-v 22=42-32 m/s=7 m/s 故渡河时间:t′== s= s.
v合771007
答案 (1)t=25s,x=75m,l=125m(2)t=s
7
4、河宽60 m,水流速度v1=6 m/s,小船在静水中的速度v2=3 m/s,则: (1)它渡河的最短时间是多少? (2)最短航程是多少? 答案 (1)20 s (2)120 m
5.(单选)一小船在静水中的速度为3 m/s,它在一条河宽为150 m,水流速度为4 m/s的河流中渡河,则该小船( ). 答案 C
A.能到达正对岸 B.渡河的时间可能少于50 s
1
C.以最短时间渡河时,它沿水流方向的位移大小为200 m D.以最短位移渡河时,位移大小为150 m 6.一只小船在静水中的速度为5 m/s,它要渡过一条宽为50 m的河,河水流速为4 m/s,则( ) 答案 C A.这只船过河位移不可能为50 m B.这只船过河时间不可能为10 s
C.若河水流速改变,船过河的最短时间一定不变 D.若河水流速改变,船过河的最短位移一定不变
7.(运动的合成和分解)某河宽为600 m,河中某点的水流速度v与该点到较近河岸的距离d的关系如图所示.船在静水中的速度为4 m/s,要想使船渡河的时间最短,下列说法正确的是( ) 答案 AD A.船在航行过程中,船头应与河岸垂直 B.船在河水中航行的轨迹是一条直线 C.渡河的最短时间为240 s
D.船离开河岸400 m时的速度大小为25 m/s
8. (多选)小船横渡一条两岸平行的河流,船本身提供的速度(即静水速度)大小不变、船身方向垂直于河岸,水流速度与河岸平行,已知小船的运动轨迹如图所示,则( ) 答案 AC A.越接近河岸水流速度越小 B.越接近河岸水流速度越大
C.无论水流速度是否变化,这种渡河方式耗时最短 D.该船渡河的时间会受水流速度变化的影响
9. (单选)有一条两岸平直、河水均匀流动、流速恒为v的大河.小明驾着小船渡河,去程时船头指向始终与河岸垂直,回程时行驶路线与河岸垂直.去程与回程所用时间的比值为k,船在静水中的速度大小相同,则小船在静水中的速度大小为( ) 答案 B
kvvkvvA. B. C. D.
k2-11-k21-k2k2-1
ddt1解析 设大河宽度为d,小船在静水中的速度为v0,则去程渡河所用时间t1=,回程渡河所用时间t2=.由题知=k,联立以上各式
v0t2v 20-v2得v0=
,选项B正确,选项A、C、D错误.
1-k2v
10. (单选)如图所示,甲、乙两船在同一条河流边同时开始渡河,河宽为H,河水流速为u,划船速度
2
3H
为v,出发时两船相距3,甲、乙船头均与岸边成60角,且乙船恰好能直
A
达对岸的A点,则下列判断正确的是( D ) A.甲、乙两船到达对岸的时间不同 B.两船可能在未到达对岸前相遇 乙 甲
C.甲船在A点右侧靠岸
D.甲船也在A点靠岸
11.如图所示,一艘轮船正在以4 m/s的速度沿垂直于河岸方向匀速渡河,河中各处水流速度都相同,其大小为v1=3 m/s,行驶中,轮船发动机的牵引力与船头朝向的方向相同.某时刻发动机突然熄火,轮船牵引力随之消失,轮船相对于水的速度逐渐减小,但船头方向始终未发生变化.求: (1)发动机未熄火时,轮船相对于静水行驶的速度大小; (2)发动机熄火后,轮船相对于河岸速度的最小值. 答案 (1)5 m/s (2)2.4 m/s
解析 (1)发动机未熄火时,轮船运动速度v与水流速度v1方向垂直,如图所示,故此时船相对于静水的速
v
度v2的大小:v2=v2+v 21=42+32 m/s=5 m/s,设v与v2的夹角为θ,则cos θ==0.8.(2)熄火前,船的
v2牵引力沿v2的方向,水的阻力与v2的方向相反,熄火后,牵引力消失,在阻力作用下,v2逐渐减小,但其方向不变,
2
当v2与v1的矢量和与v2垂直时,轮船的合速度最小,则vmin=v1cos θ=3×0.8 m/s=2.4 m/s.
12.如图所示,河宽d=120 m,设小船在静水中的速度为v1,河水的流速为v2.小船从A点出发,在渡河时,船身保持平行移动.若出发时船头指向河对岸上游的B点,经过10 min,小船恰好到达河正对岸的C点;若出发时船头指向河正对岸的C点,经过8 min,小船到达C点下游的D点.求: (1)小船在静水中的速度v1的大小; (2)河水的流速v2的大小;
(3)在第二次渡河中小船被冲向下游的距离sCD. 答案 (1)0.25 m/s (2)0.15 m/s (3)72 m
d120
解析 (1)小船从A点出发,若船头指向河正对岸的C点,则此时v1方向的位移为d,故有v1== m/s=0.25 m/s.
tmin60×8
(2)设AB与河岸上游成α角,由题意可知,此时恰好到达河正对岸的C点,故v1沿河岸方向的分速度大小恰好等于河水的流速v2的大小,即v2dd
=v1cos α,此时渡河时间为t=,所以sin α==0.8,故v2=v1cos α=0.15 m/s.
v1sin αv1t(3)在第二次渡河中小船被冲向下游的距离为sCD=v2tmin=72 m.
3
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