与圆有关性质概念总结

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与圆有关的性质概念总结

知识点; D1、 与圆有关的概念

圆的定义 圆的位置由 确定，大小由 确定；不在同一直线上 的确定一个圆。最大的弦是

O

与圆有关的角

E

AB圆周角 圆心角

2、 相关定理性质

Cj

圆是轴对称图形，中心对称图形 （1）：垂径定理：1、垂径定理：垂直于弦的直径，平分这条弦且平分这条弦所对的两条弧 如图： ∵CD⊥AB CD是直径

∴ （2）（推论：平分弦（不是直径）的直径，垂直于这条弦，且平分这条弦所对的两条弧 如图：∵CD是直径 AE=BE

∴ 这两个定理和勾股定理相结合 可用于计算半径 求线段 面积 证明等等 即：知二得三

（3）弧，弦，圆心角，弦心距之间关系：在同圆或等圆中知道了其中一组量相等，则其余的三组也相等 可以用来证明线段相等 ，弧等 ，圆心角相等 和相关的圆心角的的计算

如图（1）∵AB=CD，OF⊥AB,OE⊥CD



D

∴ = , = , = A

E

(2) ∵ ∠ AOB= ∠DOC, OF⊥AB,OE⊥CD F

C

∴ = , = , = O

(3) ∵OE=OF, OF⊥AB,OE⊥CD B



∴ = , = , = (4) ∵弧AB=弧CD, OF⊥AB,OE⊥CD

∴ = , = , =

（4）圆周角定理：同圆或等圆中，等弧或同弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半 可用于计算角 或证明角的关系 如图：∵弧AB=弧AB C

∴

1

∠ = ∠ 2

A

D



或∠ = 2∠

（5）推论 ：半圆（或直径） 所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径 （1） ∵ AB 是直径

∴ ∠C= （2） ∵ ∠C=90°

∴ AB是

D

B

C

AB

E



（6）圆内接四边形性质：（1） 圆内接四边形对角互补。 （2）外角等于内对角 如图：（1） ∵四边形ANCD内接于⊙O

∴∠A+∠BCD=180°或∠D+∠B=180° （2）∵四边形ANCD内接于⊙O

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C

O

A

B


∴ ∠A=∠DCE(圆内接四边形的一个外角等于内对角

（7）直角三角形判定

（1）勾股定理的逆定理（2）三角形中如果一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形

*注意：圆里的证明题或计算题要注意找圆周角圆心角 或同弧等弧所对的圆周角，有垂直要考虑是否可以用垂径定理，勾股定理等等，有内接四边形则其对角互补，有直径圆心就是中点，有时候用三角形中位线定理



与圆有关的位置关系

知识点

1、 点与圆的位置关系

点在圆上那么d r，点在圆内那么d r，点在外那么d r 不在同一直线上的三点确定一个圆 2、 直线与圆的位置关系关系

(1) 当直线与圆只有一个公共点，直线与圆 当直线与圆只有2个公共点，直线与圆 当直线与圆没有公共点，直线与圆 （2）d与R 的关系，当d﹥R ，直线与圆 当d ﹤R ，直线与圆 当d=R直线与圆



(2) 圆的切线的判定：（1）通过公共点个数。当直线与圆只有一个公共点，直线与圆 （2）d与R 的关系：当d=R直线与圆

(3) 切线的判定定理；经过半径外端，且与这条半径垂直的直线是圆的切线

如图：∵ OA是⊙O半径 CD⊥OA O

D∴ CA

(3) 切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径（ 连接半径得垂直）

(4) 切线长定理：过圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，这一点与圆心的连线平分这两条切线的夹角 作用；证线段相等，角相等 如图：∵直线AB，AC是⊙O的切线，B, C是切点

B

∴ = ， =

A

O



C



（5）：三角形内心，外心的定义，性质。 圆的内接三角形，三角形外接圆，三角形内切圆定义，外切圆定义 3、圆和圆的位置关系：设两圆半径是R 和r，且R＞r （1）当 两圆相离。（2）当 两圆外切 （3）当 两圆相交 （4）当 两圆内切 （5）当 两圆内含

Two Questions:

1、 在⊙O中，点M到⊙O的最小距离为3，最大距离是19，那么⊙O的半径为 2、

2、如图，已知Rt△ABC的斜边AB=8cm，AC=4cm．

A

（1）以点C为圆心作圆，当半径为多长时，直线AB D与⊙C相切？为什么？

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B

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C


（2）以点C为圆心，分别以2cm和4cm为半径作两个圆 ，这两个圆与直线AB分别有怎样的位置关xi4

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