矢量三重积(学习资料)

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矢量三重积ax(bxc)恒等式的证明

矢量三重积 ax(bxc) 恒等式的证明The vector triple product 公式: a x ( b x c ) = (a· c)b - (a·b)c 证:

设有空间任意三矢量:a,b,c (见下面的图)

知识类+ 1




将 b与c放在直角坐标的 xy 平面,并将b与x轴重合.或者矢量不动,将坐标架任意旋转及移动,

然后将xy平面贴合到b,c两矢量构成的平面,且将x轴与b重合, 人坐在坐标架上来观察.

假设,三矢量表示如下:



将c分解为两个分量, 则因 bxiXcxi=0 , 故有 bxc=(0,0,bxcy) ---右手定则 式左LHS (left hand side):

将a分为三个分量:axi,ayj, azk , 因已知bxc=bxcyk ,

再将 a的三个分矢量分别与bxcyk求矢量积,按照右手定则,其中有azkXbxcyk=0 最后得:



式右RHS (right hand side):





证明完毕.

知识类+ 2






注:式左将a分为ax,ay,az三个分量,分量本身也是矢量,再分别按照右手法则决定各自的叉积及其方向即可.

注意相同方向的两矢量之矢量积为0. .如图,最下面的浅蓝色虚线所示为分量,实线为分量之和.

式右为两项纯量乘矢量, 然后相减,其中 x坐标有axbxcx- axbxcx=0, 所以,最后得到各坐标值的代数和就是式中

那样,同样代表图中浅蓝色虚线为分量,实线为其合成矢量. 又:b=bxj

符号: X 英文读 cross 台湾人是按照英文念的,中文有人读:" 叉" ,符号本身像个交叉(十字)的意思,矢量积,外积,向量积,都是它.

圆点,英文读 dot , 中文就读"点", 点积,内积,数量积,纯量积,标量积都是它了.

另一个公式: (axb)xc=(a.c)b-(b.c)a 将a,b放在xy平面,再将a与x轴重合....再按照上述方法,自己试一试.



知识类+ 3

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