二次函数求最值之高级求法

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二次函数求最值之高级求法



问题阐述：

4acb2

对于二次函数yaxbxc(a0)，我们都知道当a0时，有最小值；当

4a

2

4acb2

有最大值。但是，我们真的在求最值过程中很少用这个公式直接计算，a0时，

4a

因为这里计算量比较大。

因此，大多数人在求解最值过程中用的最多的方法便是配方法求最值，这也是普遍能够接受的方法。那有没有更快的方法来求解二次函数的最值呢？答案是肯定的，今天，我们用一种高级一点的方法来快速求解二次函数的最值。



首先，我们来看一个基本的不等式ab0恒成立，因此得到ab2ab，两

2

2

2

ab边加上一个2ab，得到ab4ab，即ab当ab时，这里就取到等号。 ，

2

2

2

求二次函数的最值问题时，我们要保证ab是一个定值，然后就可以利用刚刚证明

ab

的一个基本不等式ab来求二次函数的最大值或最小值。

2

【求最大值】

例1：求二次函数yx4x6的最大值。 解：原式化为，yx4x6， 因为x4x4是一个定值，

2

2

x4x

所以原式y64610

2



2

1




例2：求二次函数y解：原式化为，yx因为x与

127

xx6的最大值。 32

71

x6，到此，我们发现现在不能用基本不等式求出最大值，23

71

x的和并不是定值，因此我们陷入了困境。实际上我们可以换一个角度思23

考，既然要出现和为定值，那么我们就只需要配出一个和为定值的形式即可。

因此，原式可以这样变形：y3

171

xx6， 323

这里就有

1717

xx=为定值了， 3232

那么我们就可以利用基本不等式求解二次函数的最大值了，

171

xx3

2363496=243

所以原式y3

21616



【求最小值】

例3：求二次函数yx4x6的最小值。

解：原式化为，yx4x6，因为x4x42x并不是一个定值，那么我们就不能够直接运用基本不等式求最值，那么我们就得从例2的求解方法中采用的配凑思想，因为x4x4是定值.

因此原式yx4x6，

2

2

ab

由基本不等式ab，两边添一个负号，

2ab

不等号改变方向，即ab。

2x4x

所以原式y6462

2





2

2

2

2

本文来源：https://www.wddqxz.cn/8d4124d11fd9ad51f01dc281e53a580217fc507f.html