数形结合思想及其内涵

2022-10-09 14:25:22   文档大全网     [ 字体: ] [ 阅读: ]

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数形结合思想及其内涵

数缺形,少直观;形缺数,难入微,这是华罗庚教授对数形结合思想的深刻、透彻的阐释。具体地说,就是在解决数学问题时,根据问题的背景、数量关系、图形特征,或使的问题,借助于去观察;或将的问题,借助于去思考,这种解决问题的思想称为数形结合思想。

事实上,数形结合思想,就是用联系的观点,根据数的结构特征,构造出与之相适应的图形,并利用图形的性质和规律,解决的问题;或将图形的部分信息或全部信息转换成信息,弱化或消除推理,从而将的问题转化为数量关系来解决。

的问题以直观图形的描述,揭示出问题的几何特征,就能变抽象为直观;给的问题以数的度量,分析数据之间的关系,更能从本质上深刻认识的几何属性。

二、应用

数形结合思想在课本中,具有突出的地位。比如:在集合运算中的应用。涉及集合的运算,常常采用文氏图,数轴等形象、直观的方式;在研究函数时,已知函数的解析式,作出函数的图象,再通过函数的图象研究函数的性质;或通过图、表的分析,抽象出变量之间的规律,再通过变量之间的规律的研究,进一步掌握图、表的变化趋势;运用数形结合思想,构出适当的图形证明不等式和解不等式往往十分简捷。

又如,笛卡儿用数形结合思想将长期对立的代数与几何有机结合,创立了数学的一大分支——解析几何,构建曲线与方程的理论,集中解决了两大问题:已知曲线求方程和通过方程研究曲线的性质。

下面举例说明数形结合的奇妙。

1:已知实数 满足 ,求证:

分析:分析:记 ,那么d的几何意义是直线 的点与定点M(-2,-2)的距离,由点M到直线 的距离为 ,根据平面几何的知识知, ,即

2:已知 ,且 ,求证:

分析:要解决本题是很容易的,但我们从的角度来认识和解决这个问题是十分有趣的。记 ,那么d几何意义是在空间直角坐标系中,原点O000)到平面 上任意一点的距离。设平面 与空间直角坐标系的x轴、y轴、z轴的交点分别为ABC,则OA=OB=OC=1,那么正三棱锥OABC的侧棱为1,侧面的顶角均为90°(如图)。由等体积法易得,点O到平面ABC(即平面 )的距离为

从而 ,即

3:若实数 满足 ,则 的取值范围是

分析:方程 表示的图形是以C(-43)为圆心半径为3的圆(如图)。记 ,那么d的几何意义是圆上的动点M与原点O的距离。连接OC并延长,交圆于AB,则 ,则 。所以 的取值范围是[464]


4:已知方程 ,当k为何值时,方程恰有①四个解?②三个解?③两个解?④无解?

分析:本题若采用代数的方法,十分繁杂,若采用数形结合的方法,则一目了然。在同一直角坐标系下,作函数 的图象(如图),那么当

时,方程有两个解;

k∈(03)时,方程有四个解;

k=3时,方程有三个解;当 时方程无解。

5:设 ,试求使方程 有解的k的取值范围。

分析:∵方程有解,应满足条件:

上述条件组等价于

在同一坐标系下作直线 和曲线 ,如图,根据平行直线系与等轴双曲线弧有公共点的充要条件是直线在x轴上的截距应满足: ,由此可得,k<-10k1

综上所述,k的取值范围是

以上仅例举了数形结合思想在方程与不等式方面的应用,对于它在函数、三角函数、复数、解析几何方面应用,限于篇幅,这里不再赘述。


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