圆的性质定理

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圆的性质定理

圆的性质定理

一． 定理：

1.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并平分弦所对的两条弧。

2.垂径定理的推论：(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦；(2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；(3)平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。

（5个条件：①直径 ②垂直于弦 ③平分弦 ④平分弦所对的优弧 ⑤平分弦所对的劣弧，满足其中两个，其他三个也成立。注：当具备① ③时，需对另一条弦增加它不是直径的限制。）

3.圆周角定理：同一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

4．圆周角定理的推论：(1)同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧也相等；(2)半圆或直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.



5.切线长定理：从圆外一点引两条切线，它们的切线长相等圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角。

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5.弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。

6.弦切角定理的推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等。

7.相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。

8.割线定理：从圆外一点引圆的两条割线这一点到每条割线与园的交点的两条线段长的


圆的性质定理

积相等。

8.切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割











线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

二．性质：

1.在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧，两条弦，两个弦心距中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量分别相等。 2.确定圆的条件：定理：不在同一条直线上的三个点确定（有且只有）一个圆。（作法：连接任意两点并作其中垂线，以这两条中垂线的交点为圆心，以这一点到已知三点中任意一点的距离为半径作圆） 3.切线性质概述：（1）垂直于切线（2）过切点（3）过圆心，如果一条直线满足这三个条件中任意2个，那么就满足第3个。（遇到切点连半径）

补充3：切线五大性质：（1）切线与圆只有一个公共点（2）圆心到

切线的距离等于半径（3）切线垂直于过切点的半径（4）经过圆心垂直于切线的直线必经过切点（5）经过切点垂直于切线的直线必经过圆心。

4.切线的判定方法：（1）与圆有唯一公共点的直线是圆的切线（2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线（3）经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线（切线判定定理）。

续4：证明切线的辅助线作法：（1）连半径，证半径与该直线垂直（2）

作垂直，证垂线长度等于半径。

5．在直角三角形中的内切圆，半径r=a+b+c/2或1/2周长-斜边；一般三角形中，r=2s/c

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圆的性质定理

6.圆和圆的位置关系：

位置关系

名称

图形

公共点

圆心距和半径的关系

外离

相离

内含



0 0



d>R+r 0≤d

外切

相切

内切



1 d=R+r

1 d=R-r

相交

相交 2 R-r



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