高中数学新课 概率与统计 教案 (9)

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课 题： 1．4总体分布估计

教学目的：

1了解当总体中的个体取不同数值很少时，可用频率分布表或频率分布条形图估计总体分布，并会用这两种方式估计总体分布；

⒉了解当总体中的个体取不同数值较多，甚至无限时，可用频率分布表或频率分布直方图估计总体分布，并会用这两种方式估计总体分布 教学重点：用样本的频率分布估计总体分布 教学难点：频率分布表和频率分布直方图的绘制 授课类型：新授课 课时安排：1课时

教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析：

统计学中有两个核心问题，一是如何从整体中抽取样本？二是如何用样本估计总体？经过前面的学习，我们已经了解了一些常用的抽样方法．本节课，我们在初中学过样本的频率分布的基础上，研究总体的分布及其估计 教学过程：

一、复习引入：

1.简单随机抽样：设一个总体的个体数为N．如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本，且每次抽取时各个个体被抽到的概率相等，就称这样的抽样为简单随机抽样 ⑴用简单随机抽样从含有N个个体的总体中抽取一个容量为

n的样本时，每次抽取一个个体时任一个体被抽到的概率为

程中各个个体被抽到的概率为

1

；在整个抽样过N

n

； ⑵简单随机抽样的特点是，逐个抽取，且N

各个个体被抽到的概率相等； ⑶简单随机抽样方法，体现了抽样的客观性与公平性，是其他更复杂抽样方法的基础．（4）.简单随机抽样的特点：它是不放回抽样；它是逐个地进行抽取；它是一种等概率抽样

2.抽签法：先将总体中的所有个体（共有N个）编号（号码可从1到N），并把号码写在形状、大小相同的号签上（号签可用小球、卡片、纸条等制作），然后将这些号签放在同一个箱子里，进行均匀搅拌，抽签时每次从中抽一个号签，连续抽取n次，就得到一个容量为n的样本

适用范围：总体的个体数不多时

优点：抽签法简便易行，当总体的个体数不太多时适宜采用抽签法． 3.随机数表法： 随机数表抽样“三步曲”：第一步，将总体中的个体编号；






第二步，选定开始的数字；第三步，获取样本号码

4.系统抽样:当总体中的个体数较多时，可将总体分成均衡的几个部分，然后按预先定出的规则，从每一部分抽取一个个体，得到需要的样本，这种抽样叫做系统抽样．系统抽样的步骤：①采用随机的方式将总体中的个体编号为简便起见，有时可直接采用个体所带有的号码，如考生的准考证号、街道上各户的门牌号，等等 ②为将整个的编号分段（即分成几个部分），要确定分段的间

NNN

（N为总体中的个体的个数，n为样本容量）是整数时，k=;当nnn

不是整数时，通过从总体中剔除一些个体使剩下的总体中个体的个数N能被n

N

整除，这时k=.③在第一段用简单随机抽样确定起始的个体编号l ④按照

n

事先确定的规则抽取样本（通常是将l加上间隔k，得到第2个编号l+k,第3个编号l+2k，这样继续下去，直到获取整个样本）

隔k当

①系统抽样适用于总体中的个体数较多的情况，它与简单随机抽样的联系在于：将总体均分后的每一部分进行抽样时，采用的是简单随机抽样；

②与简单随机抽样一样，系统抽样是等概率抽样，它是客观的、公平的． ③总体中的个体数恰好能被样本容量整除时，可用它们的比值作为系统抽样的间隔；当总体中的个体数不能被样本容量整除时，可用简单随机抽样先从总体中剔除少量个体，使剩下的个体数能被样本容量整除在进行系统抽样 5.分层抽样: 当已知总体由差异明显的几部分组成时，为了使样本更充分地反映总体的情况，常将总体分成几部分，然后按照各部分所占的比例进行抽样，这种抽样叫做分层抽样，所分成的部分叫做层

6.不放回抽样和放回抽样:在抽样中，如果每次抽出个体后不再将它放回总体，称这样的抽样为不放回抽样；如果每次抽出个体后再将它放回总体，称这样的抽样为放回抽样．

随机抽样、系统抽样、分层抽样都是不放回抽样 7. 分布列:

x1 x2 „ xi

P P1 P2 „ Pi

分布列的两个性质： ⑴Pi≥0，i＝1，2，„； ⑵P1+P2+„=1

ξ

„ „

二、讲解新课：

⒈频率分布表或频率分布条形图

历史上有人通过作抛掷硬币的大量重复试验，得到了如下试验结果：

试验结果 正面向上(0) 反面向上(1)

频数 36124 35964

频率 0.5011 0.4989






抛掷硬币试验的结果的全体构成一个总体，则上表就是从总体中抽取容量为72088的相当大的样本的频率分布表．尽管这里的样本容量很大，但由于不同取值仅有2个（用0和1表示），所以其频率分布可以用上表和右面的条形图表示．其中条形图是用高来表示取各值的频率．

说明：⑴频率分布表在数量表示上比较确切，而频率分布条形图比较直观，两者相互补充，使我们对数据的频率分布情况了解得更加清楚．⑵①各长条的宽度要相同；②相邻长条之间的间隔要适当．

试验结果 当试验次数无限增大时，两种试验结果的

概率

频率值就成为相应的概率，得到右表，除了抽

正面向上(记为0) 0．5

样造成的误差，精确地反映了总体取值的概率分布规律．这种整体取值的概率分布规律通常称为反面向上(记为1) 0．5 总体分布.

说明：频率分布与总体分布的关系：

⑴通过样本的频数分布、频率分布可以估计总体的概率分布. ⑵研究总体概率分布往往可以研究其样本的频数分布、频率分布. 2.总体分布：总体取值的概率分布规律

在实践中，往往是从总体中抽取一个样本，用样本的频率分布去估计总体分布 一般地，样本容量越大，这种估计就越精确

3.总体密度曲线:样本容量越大，所分组数越多，各组的频率就越接近于总体在相应各组取值的概率．设想样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线,这条曲线叫做总体密度曲线．

频率/组距

总体密度曲线

单位

O

a

b



它反映了总体在各个范围内取值的概率．根据这条曲线，可求出总体在区间(a，b)内取值的概率等于总体密度曲线，直线x=a，x=b及x轴所围图形的面积．






三、讲解范例：

例1．为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了地区内100名年龄为17.5岁~18岁的男生的体重情况,结果如下(单位:kg) 56.5 72 62 55 64 76 68.5 57 59 65.5

69.5 73.5 68.5 72 70.5 71 64 69.5 65.5 58.5

65 56 62.5 66.5 57 66 55.5 74 62.5 67.5

61.5 67 66 74 62.5 63.5 72.5 64.5 69.5 70.5

64.5 70 59.5 63 65 56 66.5 59 72 65

66.5 57.5 63.5 60 69 59.5 68 61.5 64.5 66

64 65.5 64.5 55.5 71.5 63.5 76 67 75.5 66.5

64.5 68 67.5 70 73 65 57.5 68 68.5 70

76 71 73 64.5 62 70 60 63.5 64 63

58.5 75 68 58 58 74.5 71.5 58 62 59.5

试根据上述数据画出样本的频率分布直方图,并对相应的总体分布作出估计 解:按照下列步骤获得样本的频率分布.

(1)求最大值与最小值的差.在上述数据中，最大值是76，最小值是55，它们的差(又称为极差)是76—55=21)所得的差告诉我们，这组数据的变动范围有多大.

(2)确定组距与组数.如果将组距定为2，那么由21÷2=10.5，组数为11，这个组数适合的.于是组距为2，组数为11.

（3）决定分点.根据本例中数据的特点，第1小组的起点可取为54.5，第1小组的终点可取为56.5，为了避免一个数据既是起点，又是终点从而造成重复计算，我们规定分组的区间是“左闭右开”的.这样，所得到的分组是

［54.5，56.5），［56.5，58.5），„，［74.5，76.5）. （4）列频率分布表,如表① 频率分布表

分组 ［54.5，56.5） ［56.5，58.5） ［58.5，60.5） ［60.5，62.5） ［62.5，64.5） ［64.5，66.5） ［66.5，68.5） ［68.5，70.5） ［70.5，72.5） ［72.5，74.5） ［74.5，76.5）

合计



频数累计



频数 2 6 10 10 14 16 13 11 8 7 3 100

频率 0.02 0.06 0.10 0.10 0.14 0.16 0.13 0.11 0.08 0.07 0.03 1.00




（5）绘制频率分布直方图.频率分布直方图如图所示

频率/组距

54.556.558.560.562.564.566.5

68.570.572.5

74.5

76.5体重



由于图中各小长方形的面积等于相应各组的频率，这个图形的面积的形式反映了数据落在各个小组的频率的大小.在反映样本的频率分布方面，频率分布表比较确切，频率分布直方图比较直观，它们起着相互补充的作用.

在得到了样本的频率后，就可以对相应的总体情况作出估计.例如可以估计，体重在（64.5，66.5）kg的学生最多，约占学生总数的16%；体重小于58.5kg的学生较少，约占8%；等等

例2．对某电子元件进行寿命追踪调查，情况如下：

寿命（ｈ） 100～

200 个数

20

200～300 30

300～400 80

400～500 40

500～600 30

出频率分布表；

（２）画出频率分布直方图和累计频率分布图；

（３）估计电子元件寿命在100ｈ～400ｈ以内的概率； （４）估计电子元件寿命在400ｈ以上的概率； （５）估计总体的数学期望值

频率

解：（１）

寿命 频数 频率 0.1 0.15 0.40 0.20 0.15 1

累计频率 0.10 0.25 0.65 0.85 1

组距

100～200 20 200～300 30 300～400 80 400～500 40 500～600 30 合计

200

100 200 300 400 500 600

频率分布直方图

寿命



（２）频率分布直方图如右和累计频率分布图如下






累计 频率 1 0.80 0.60 0.40 0.20

0.10

0 100 200 300 400 500 600 寿命

（３）频率分布图可以看出，寿命在100ｈ～400ｈ的电子元件出现的频率为0.65，所以我们估计电子元件寿命在100ｈ～400ｈ的概率为0.65 （４）由频率分布表可知，寿命在400ｈ以上的电子元件出现的频率为 0.20+0.15＝0.35，故我们估计电子元件寿命在400ｈ以上的概率为0.35 （５）样本的期望值为

100200200300300400400500

0.100.150.400.202222500600

0.151537.51409082.53652

所以，我们估计总体生产的电子元件寿命的期望值（总体均值）为365ｈ 四、课堂练习： 1 . 为检测某种产品的质量，抽取了一个容量为30的样本，检测结果为一级品5件，二级品8件，三级品13件，次品14件． ⑴列出样本频率分布表；

⑵画出表示样本频率分布的条形图；

⑶根据上述结果，估计此种商品为二级品或三级品的概率约是多少？ 解：⑴样本的频率分布表为

产品 一级品 二级品 三级品 次品

频数 5 8 13 4

频率 0.17 0.27 0.43 0.13

⑵样本频率分布的条形图如右：






⑶此种产品为二极品或三极品的概率为0.27+0.43=0.7 2. 如下表：

分 组

[10.75，10.85) [10.85，10.95) [10.95，11.05) [11.05，11.15) [11.15，11.25)

频数 3 9 13 16 26

频 率

分 组 [11.25，11.35) [11.35， 11.45) [11.45， 11.55) [11.55， 11.65) 合 计

频数 20 7 4 2 100

频 率

⑴完成上面的频率分布表．

⑵根据上表，画出频率分布直方图．

⑶根据上表，估计数据落在[10.95，11.35)范围内的概率约为多少? 答案：⑴⑵略．

⑶数据落在[10.95，11.35)范围的频率为0.13+0.16+0.26+0.20=0.75 ∴ 落在[10.95，11.35)内的概率约为0．75

五、小结 ：用样本的频率分布估计总体分布，可以分成两种情况讨论：

⒈当总体中的个体取不同数值很少（并不是总体中的个数很少）时，其频率分布表由所取样本的不同数值及其相应的频率来表示，其几何表示就是相应的条形图；

⒉当总体中的个体取不同值较多、甚至无限时，对其频率分布的研究要用到初中学过的整理样本数据的知识．

它们的不同之处在于：前者的频率分布表中列出的是几个不同数值的频率，相应的条形图是用其高度来表示取各个值的频率；后者的频率分布表列出的是在各个不同区间内取值的频率，相应的直方图是用图形面积的大小来表示在各个区间内取值的频率 六、课后作业：

七、板书设计（略）

八、课后记：

本文来源：https://www.wddqxz.cn/8ad174e5d938376baf1ffc4ffe4733687e21fc8a.html