高等数学习题及解答(极限,连续与导数)

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高等数学习题库



淮南联合大学基础部









2008年10月






第一章 映射，极限，连续



习题一 集合与实数集



基本能力层次：



1: 已知：A＝{x|1≤x≤2}∪{x|5≤x≤6}∪{3},B={y|2≤y≤3} 求：在直角坐标系内画出 A×B

解：如图所示A×B＝{（x,y）| xA,yB }.2：





证明：∵ P为正整数，∴p＝2n或p＝2n+1，当p＝2n+1时，p2＝4n2+4n+1，不能被2整除，故p＝2n。即结论成立。 基本理论层次：

习题二 函数、数列与函数极限



基本能力层次

1：



解：2：证明：由所以命题成立



得cxyayaxb即 x





ayb

，所以 xf(y) cya




3：

（1）y2x （2）y（3 y[x] （4）y解：

4：用极限定义证明： lim

2



xlg(sinx) 0,x0



1,x0



n1

1(不作要求)

nnn1111

1|成立,只要n取N＝[]，则当n>N时,就有证明：因为  有|nn

n11n1|1|有定义变知lim1成立

nnnn

5：求下列数列的极限

n1222

（1）limn （2）lim

n3nn3

（3）（4）lim1

n

n2





1

n

nn2n

limn0,所以 0limn0 , 故：limn＝0

n3n3x3

n2n

解：（1） nn,又

331222

（2）由于

n3

n2



n(n1)(2n1)111

(1)(2n)

n36nn

n21

3

11111222

又因为：lim(1)(2n),所以：lim

n6nnn3n3

（3）因为：

所以：

（4） 因为：1lim1

n



111

1，并且lim(1)1, 故由夹逼原理得

nnnn

lim1

n

1

1 n






6：

解：由于



7：解：







8：














9：





习题三 无穷小与无穷大、极限运算法则及两个重要极限



基本理论层次

1：







解：
















同理：（3），（4）







习题四 无穷小的比较、函数的连续及性质

基本理论层次

1：



（1）（2）













2：


























第二章 一元微分学及应用

习题一 导数及求导法则、反函数及复合函数的导数

.

基本理论层次






ax1,x1

1.设f(x)=,试求常数a,b,使f(x)在x=1处可导。

2xbx,x1

解：首先必须f（x）在x=1处连续,f(1-0)=limf(x)=lim(-x2+bx)=b-1

f(1+0)=limf(x)=lim(ax2+1)=a+1,由f(1-0)=f(1+0)f(1) 得b-1=a+1,即b=a+2f(x)f(1)-x2bx(a1)(x1){x(a1)}

f'(1)limlimlim-x1x1x1

f(x)f(1)ax21(a1)

a,又因为f'(1)limlim2a.

x1x1

由f'(1)f'(1)得a0,从而b=2。

2

2.求函数y=x+xxxx,(x0)解：设xxexlnx,xxex

x

x

x

lnx

,所以yxexlnxex

x

lnx

x1

y'1exlnxx'lnxxexlnxxx'lnxxxlnx'

x

x1

1xx1lnxxxxxln2xlnxx0.

x



1n

,求fx2

x3x2

111

解：fx

x1x2x2x13.f(x)

1n

fxx1x2



n

11

2x1x2"x2由数学归纳法可得出：f

n

111

'x1x2x22x12



22

11212'…233

x1x2x1

n

1nn！1n!11n

1n!.xn1n1n1n1

x1x1x2x2




4.求下面的参数方程所确定的函数的导数。2atx=dy1+t2

,求2

dty3at

1+t2

t2

3at2

'2y't1+t又因为dy

解：

dxx't2at

'21+ty'tx't

6at1t23a2t22t

1t

22





6at36a2t36at

1t2

2

2a1t22at2t

1t2

2

233

dy6a6at6at33at3t.dx2a2at21t2





习题二 导数的运算、高阶导数、隐函数及参数方程确定的

函数的导数、函数的微分



略

习题三 中值定理 罗必达法则 泰勒公式

基本理论层次

1

.








2．







3．





4








5.]







6.








7.











习题四 导数的应用

基本理论层次

1．














综合练习题

一、 填空题

f(ax)f(ax)



x0xf(3h)f(3)

2、设f(3)2，则lim。

h0______________2h

1、设f(x)在xa可导，则lim。

3、设f(x)e，则lim

h0



1

x

f(2h)f(2)

。 _____________h

cosx

,f(x0)2,(0x0)，则f(x0)。

_______________________1sinx2

dy5、已知x2yy2x20，则当经x＝1、y＝1时，。 dx_______________

4、已知f(x)

6、f(x)xex，则f(ln2)

_______________

。

__________

7、如果yax(a0)是yx21的切线，则a。

。

8、若f(x)为奇函数，f(x0)1且，则f(x0)9、f(x)x(x1)(x2)

(xn)，则f(0)

_________________

_________________

。

10、yln(13x)，则y11、设f(x0)1，则lim

x0

____________________

。

x

。 

___________f(x02x)f(x0x)

_________________________

12、设xytany，则dy。

13、设yln

1x

，则y(0)。 2_______________1x

14、设函数yf(x)由方程xy2lnxy4所确定，则曲线yf(x)在点（1，1）处的切线方程是

______________________

。

1

xcos

15、f(x)x

0

_______________________

x0x0。

，其导数在x0处连续，则的取值范围是

16、知曲线yx33a2xb与x轴相切 ，则b2可以通过a表示为

____________

。




二、 选择题。

17、设f(x)可导，F(x)f(x)(1sinx)，则f(0)0是F(x)在x0处可导的（ ）。

A 充分了必要条件， B 充分但非必要条件，

C 必要条件但非充分条件， D 既非充分条件又非必要条件。

23x

18、函数f(x)3

2x

x1x1

在x1处 （ ）

A 左右导数均存在， B 左导数存在，右导数不存在，

C 左导数不存在，右导数存在， D 左右导数均不存在。

f(1)f(1x)

1，则曲线 19、设周期函数f(x)在(,)内可导，周期为4，又lim

x02x

yf(x)在点(5,f(5))处的切线斜率为 （ ）

A

1

， B 0 ， C –10， D –2 。 2

11

cos

20、设函数f(x)(x1)ax1

0

x21

21、已知(x)

axb

x2x2

x1x1

则实常数a当f(x)在x1处可导时必满足（ ）

A a1； B 1x0； C 0x1； D a1

，且(2)存在，则常数a,b的值为 （ ）

A a2,b1; B a1,b5; C a4,b5; D a3,b3. 22、函数f(x)在(,)上处处可导，且有f(0)1，此外，对任何的实数x,y恒有

f(xy)f(x)f(y)2xy，那么f(x)（ ）

A ex; B x; C 2x1； D x1。

23、已知函数f(x)具有任何阶导数，且f(x)[f(x)]2，则当n为大于2的正整数时，

f(x)的n阶导数f(n)(x)是 （ ）

A n![f(x)]n1； B n[f(x)]n1； C [f(x)]2n； D n![f(x)]2n.

1

，则当x0时，该函数在xx0处的微分dy是x的（ ） 2

A 等价无穷小； B 同阶但不等价的无穷小； C 低阶无穷小； D 高阶无穷小。

24、若函数yf(x)有f(x0)




25、设曲线y

1

和yx2在它们交点处两切线的夹角为，则tan （ ） x

A 1； B 1; C 2； D 3 。

x2t1d2y

26、设由方程组y 确定了y是x的函数，则2

dxtey10 A

t0

（ ）

1111

； B ； C ； D 。

e22e2e2e

一、 填空题的答案 1、2f(a) 2、-1 ；



3、1e2；

4

1

4、3 5、-1

3xln310、-

13x

6、6+2ln2 7、2 8、1 9、n! 11、1 12、dy15、2 16、

1

dx 2

secy1

13、



3 2

14、xy0

b24a6

二、选择题答案：

17、A 18、B 19、D 20、A 21、C 22、C 23、A 24、B 25、D 26、B 三、综合题：

27、求曲线ycux上与直线xy1垂直的切线方程。 剖析：求曲线的切线议程关键有垂点，一是求切点，二是求切线斜线。

解：设切点为

ky|xx0

1x0

(x0y0)

则点

(x0.y0)

处的切线斜度为






依题意知所求切线（）坐xy1垂直，从而切点为(1、0)；切线（）为k1.

1

1 x0



x01

利

故所求切线方程为y0x1 即：yx1 设f(x)e

1x

f(2tc)f(2)1

则lime2 t0tc4

1

9、如果f(x)为偶函数，且f(0)存在 证明f(0)0 证明：因为

f(0)lim

x0

f(x)

为偶函数，所以

f(x)f(x)

从而

f(x)f(0)f(x)f(x)f(0)

limf(0) x0x0x0

:2f(0)0 故f(0)0

12

xsinyx

0

x

28、讨函数

x0x0

在x0处方程连续性与可得

1

ylimx2siny(0)，所以函数y在x0处连续 解：limx0x0

yy(0)又limlim

x0x0

x0

x2sin

1

xlimxsin10 x0xx

y|

x0

故函数y在x0处可导、值29、已知解:

x2

f(x)

x

x0

x0

求f(0).及f(0)2f(0)是否存在 x0

f(x)f(0)x2

f(0)limlim0 

x0x0x0xf(0)lim

x0

f(x)f(0)x

lim1 

x0x0x

故f(0)不存在 30、已知f(x)

sinxx0

x0,

x

求f(x)

解： 当x0时.f(x)cosx






当x0时.f(x)1



f(0)limf(x)lim11 

x0

x0

所以：f1(0)1 从而

sx0cox

f(x)

x01

31、证明：双曲线xy2a2上往一点处切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于2a2。

证明：设(x0,y0)为双曲线xya2上的一点，则该点处切线的斜

a2a2

率为k,从而切线方程为yy0(xx0)

x02x02

令

a2a2

x0得y轴上的截距为yy02

x0x0



令y0得x轴上的截距为x2x0 从而

11a2

s|x|y||2x0.2|2a2 22x0

tan1x

32、设ye解：y(e

e

tan1x

2

sin

1

求y x

1

tan

1x

tan11

)sinex(sin) xx

1

tan11111

(sec)(2)sinexcos(2)

xxxxx

3x2

)在f(x)arcsinx2 3x2

解：设yf(u),u3x2

3x2

33、设y

f(

求dy

dx

x0



则：

dy3x23(3x2)3(3x2)f(u)()f(u) 2dx3x2(3x2)




34、设

(arcsin2u)arcsin(

12(3x2)2



3x2212

) 2

3x23x2

从而dy|x03arcsin13

dx2



1

xarctan2

f(x)x

0

x20x0

，讨论f(x)在点x0处连续性

剖析：本题需先求f(x)的表达式，再讨论f(x)在点x0处的连续性

2

31x解：当x0时f(x)arctan2x

1x

1(2)2

x



12x2

arctan2

x1x4





xarctan

1

x2 x2

x0x0

flim

x0

f(x)f(0)

limx0x0

从而：

12x2

arctanx21x4

f(x)



2



12x2

由于limf(x)limarctan2f(0) 4x0x0x1x2



f(x)在点x0处连续

设f(x)可导,求下列函数y的导数

dy

:dx

35、

（1）y解：（1）y

f(x2) （2）yf(sinx2)f(cos2x)

f(x2)2x2xf(x2)




（2）yf(sin2x)(sin2x)f(cos2x)(cos2x)

=f(sin2x)2sinxcosxf(cos2x)2cosxsinx =sin2xf1(sin2x)f1(cosx2)

37、设f(x)limt(11

)2txx

x

,求f(t) 提示：f(t)te2t

。答案：

f(t)(12t)e2t



38、求yarcsin2t1t2

导数

解:y

1

2(1t2)2t2t

1(2t1t

2

)2

(1t2)2

=1

2(1(1t2)

2t2)1t2 2

=t211t2

2

21t2

t1

39、y

f(x2x),f二阶可导,求y 解yf(u),ux2x



yf(u)uf(x2x)(2x1) y2f(x2x)(2x1)2f(x2x)

40、设

y

1(nx25x6

求y

)

剖析：此类函数直接求导，很难找出规律，先对

x256分解因式,再将又拆项,而后求导




111



(x2)(x3)x2x3

11

y

(x2)2(x3)222

y

(x2)3(x3)3

3.23.2

y

(x2)4(x3)4



n.!n!

y(n)(1)n(1)

(x2)n1(x3)n1y



41、求下列函数的n阶导数的一般表达式

(1)ysin2x



2)

(2)yxlnx (3)yxex

解:(1)、ysin2xy2cos2x2sin(2xy22cos(2x

(n1)

y(n)2n1sin2x

2(2)、y1lnx

1y

x1

y2

x2y(4)3

x32

y(5)

x4

y

(n)

2

)2sin(2x

2)2



(1)n(n2)!,n2,3

xn1




(3)、yexxex(1x)exyexexxex(2x)exy(3x)e

x



y(n)(nx)ex

xcos3t44、求曲线3

ysint

dy3sin2tcost解：tant

dx3cos3t(sint)K切tant|则K法3x

338

t

上对应于t点处的法线方程

6



6

33当t



6

时



1

y,从而所求法线方程为

8

1333(x)88 y3x1y

1d2y

45、设函数yy(x)是由方程xysiny0确定的求2

2dx

1

解:将方程xysiny0两边对x求导数有

2

1

1ycosyy0

2dy2得y

dx2cosyd2y2(2cosy)2sinyy4siny

dx(2cosy)2(2cosy)2(cosy2)3





46、求y

1

x

axlnx二导数

1x

剖析：由于函数是根式私连乘，所以用对数示导法

解:将yaxlnx取对数有






111

lnalnxlnlnx2x24再将上式两边x求导数1lna11.yy2x4xlnx2x2

ylna1

从而:y(1)

2xx2lnxlny

1lna1

axxlnx(1)2xx2lnx

1



47、（相关变化率问题是）设气球以100cm3的速度，浸入气球（假设气球是球体）求在半径为10cm的气球半径增加的速度（假空气体压力不变）

剖析：解决相关变化率问题一般分三步： 第一步：是建立气球体积v和半径r之间的关系。 第二步：根据等式找出dy和dr的关系

dx

dx

第三步：由己知的变化率求出未知的变化率 解：v=4r3

3dt

dvdr

4r2.dtdt



由dv100cm3/s r=10cm

dr1

(cm/s) 即当r=10cm dt4

半径以1(cm/s) 的速率增加。

4

时

xln1(t2)

d3y

48、已知  求3

dxytarctatn






12dyt1t解：2tdx21t2tdd2y2*de1dx1

axdx2dt2dx2

1

1t2



4t

12t1t2



2t.4t4(1t2)1t2

d2d3ydx(4t)4t/

2tdtdtdx3

1t2

t41

8t3

49、设yy(x)是由方程2yx(xy)ln(xy)确定的隐函数，求dy 解：利用公式dyydx

将方程2yx(xy)ln(xy)两边分别对x求导，有

2y1(1y)ln(xy)(xy)

1y

得 y=2ln(xy) xy3ln(xy)

从而dy =2ln(xy)dx

3ln(xy)

50、设y=ln (1+3-x). 求dy 解：

(13x)13x(x)1

dx dxdy=xx

1313

3xln3

=-dx x

13

51、求下列函数的微分

(1)、ylncosxln(x21)

cosx

(2)、yxxx

2x

)dx 2

x1

解：(1)、dy =(sinx




=(-tanx -

2x

)dx x21

（2）函数变形为yxxx两边取对数有ln(yx)xlnx两边对x求微分得

dydx

lnxdxdx yx

dy[xx(lnx1)1]dx

53、扩音器插头为圆柱形，截面半径为0.15cm，长度l为4m，为了提高它的导电性能，要在这个圆柱的侧面镀上一层厚为0.001cm的钱铜，问每个插头约要多少克纯铜。 解：V

r2l

ΔVdv2r.l.Δx

=2π×0.15×4×0.00.037699

(g) 故镀的铜的重量为0.0037699×8.90.03355

54、有一立方形的铁箱，它的边长为70±0.1cm，求出它的体积，并估计绝对误差和相对误差。 解：体积：V=703=343000cm3



绝对误差 v=|70.370.13|1472.101cm3

v

v

1472.101

0.43% 343000

相对误差

55、求a、b的值，使f(x)

sina(x1)x1

在x1可导。 x1lnxb

解：为使f(x)在x1得可导，必须在x1连续

f(x)lim(lnxb)b 故xlim

1x1





f(x)0即b0




又因 fxlim

1



'

f(x)f(1)sina(x1)0

lim x1x1x1

=a f(1)xlim

1

'

f(x)f(1)lnx00

lim 

x1x1x1

ln1(x1)1 =xlim1x1

因此有a1，从而当a1,b0时

f(x)在x1处可导

'

56、证明可导偶函数的导数f 证：由题设f(x) f

'

(x)为奇函数

f(x)

f

'

(x)存在

f(xx)f(x)

x0x

'f(xx)f(x)

lim于是f(x) x0xf(xx)f(x)lim  x0x

'f(xx)f(x)

limf(x) =-

x0x

(x)lim

'

可导偶函数f(x)的导数f

(x)为奇函数

同理可证：可导奇函数的导函数为偶函数

以同期为T的可导函数的导函数以T为周期的函数。 57、设yx(x1)(x2)...(xn) 求y(0)

解：y(x1)(x2)...(xn)x(x2)(x3)...(xn)x(x1)...(xn1) y(0)n! 4、y(x1)3

(12x)lnx1x

2



解：两边取对数

12

lnyln(x1)ln(12x)lnlnxln(1x)

3

两边对X求导






1Y

/

y

/



11212x()

x1312xxlnx1x2



y58、设f

"

(x1)3

(12x)lnx11212x

212xx132x1xlnx1x

x

d2y

(x)存在，yf(xe)求2

axdx

解：dy

f

/

(xex)(xex)/



f

/

(xex)(xex)ex

"

d2y

2

dx

f

"

(xex)(exxex)2

x

x

f

/

(xex)exxexex



=f59、设ye 解：y

tan1x

(xe)(exe)

x2

f

/

(xex)(xexzex)

求dyx1

tan1x

tan111

(tan)/exsec2(2) xxx

1

/

e

/

y

dy

x1

etan1sec21

/

x1

y

dxetan1sec21dx

60、设ye12xlnarctanx求dy

ndyde12xlnarcra

xdxe12x

11

dx arctanx1x2

=e12x(2)lnarctan