因式分解的十二种方法(已整理)

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因式分解的十二种方法



把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解。因式分解的方法多种多样,现 总结下:

1 提公因法

如果一个多项式的各项都含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形 式。 1 分解因式x-2x-x(2003 淮安市中考) x -2x -x=x(x -2x-1) 2 应用公式法

由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系,如果把乘法公式反过来,那么就可以用来把某些多项式分解因式。 2、分解因式a +4ab+4b (2003 南通市中考) 解:a +4ab+4b = 3 分组分解法

要把多项式am+an+bm+bn分解因式,可以先把它前两项分成一组,并提出公因式 并提出公因式b,从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式 m+n,从而得到(a+b)(m+n) 3、分解因式m +5n-mn-5m : m +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n =(m -5m )+(-mn+5n) =m(m-5)-n( m_5) =(m-5)(m-n) 4 十字相乘法

对于mx +px+q形式的多项式,如果 4、分解因式 7x-19x-6 分析:1 -3 7 2 2-2-19 解:7x -19x-6= 5 配方法

对于那些不能利用公式法的多项式,有的可以利用将其配成一个完全平方式,然后再利用平方差公式,就能将 其因式分解。

5、分解因式x +3x-40 x +3x-40=x +3x+( ) -( ) -40 =(x+ )-() =(x+ + )(x+ -) =(x+8)(x-5) 6 拆、添项法

可以把多项式拆成若干部分,再用进行因式分解。 6、分解因式 bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)

: bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)

=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b) =c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a) =(c+b)(c-a)(a+b) 7 换元法

有时在分解因式时, 可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数, 7、分解因式 2x -x -6x -x+2 解:2x -x -6x -x+2=2(x +1)-x(x +1)-6x

然后进行因式分解, 最后再转换回来。

(7x+2 ) (x-3)

axb=m,cx d=qac+bd=p,则多项式可因式分解为 (ax+d)(bx+c)

a,把它后两项分成一组,

(a+2b)


=x [2(x + )-(x+ )-6 y=x+ , x [2(x + )-(x+ )-6 =x [2(y -2)-y-6] =x (2y -y-10) =x (y+2)(2y-5) =x (x+ +2)(2x+ -5) =(x +2x+1) (2x -5x+2) =(x+1) (2x-1)(x-2) 8 求根法

令多项式f(x)=o,求出其根为x ,x ,x , ..... y多项式可因式分解为 f(x)=(x-x )(x-x )(x- x ) .......... (x-x )

8、分解因式 2x +7x -2x -13x+6 解:令 f(x)=2x +7x -2x -13x+6=0

通过综合除法可知,f(x)=0根为,-3, -2, 1 2x +7x -2x -13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1) 9 图象法

y=f(x),做出函数y=f(x)的图象,找到函数图象与 X轴的交点x ,x ,x , ........... x,则多项式可因式分解为f(x)=(x-x )(x-x )(x- x ) ......... (xx ) 9、因式分解 x +2x -5x-6 解:令 y= x +2x -5x-6

作出其图象,见右图,与 x轴交点为-3 , -1, 2 x +2x -5x-6=(x+1)(x+3)(x-2) 10 主元法

先选定一个字母为主元,然后把各项按这个字母次数从高到低排列,再进行因式分解。 10、分解因式 a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)

分析:此题可选定 a为主元,将其按次数从高到低排列 : a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)=a (b-c)-a(b -c )+(b c-c b) =(b-c) [a -a(b+c)+bc] =(b-c)(a-b)(a-c) 11 利用特殊值法

210代入x,求出数P,将数P分解质因数,将质因数适当的组合,并将组合后的每一个因数写成 10的和与差的形式,将 210还原成x,即得因式分解式。 11、分解因式x +9x +23x+15

解:令 x=2,则 x +9x +23x+15=8+36+46+15=105 105分解成3个质因数的积,即105=3X 5X7 注意到多项式中最高项的系数为 1,而357分别为x+1 , x+3 , x+5,在x=2时的值

x +9x +23x+15=

(x+1 )( x+3)

( x+5)

12、待定系数法

首先判断出分解因式的形式,然后设出相应整式的字母系数,求出字母系数,从而把多项式因式分解。 12、分解因式 x -x -5x -6x-4

分析:易知这个多项式没有一次因式,因而只能分解为两个二次因式。 解:设 x -x -5x -6x-4=(x +ax+b)(x +cx+d) =x +(a+c)x +(ac+b+d)x +(ad+bc)x+bd

f(x)=




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