因式分解的十二种方法(已整理)

2023-03-22 14:00:19 文档大全网 [ 字体：小中大 ] [ 阅读： ]

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因式分解的十二种方法

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把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。因式分解的方法多种多样，现总结如下：

1、提公因法

如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。例1、分解因式x-2x-x(2003 淮安市中考题) x -2x -x=x(x -2x-1) 2、应用公式法

由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。例2、分解因式a +4ab+4b (2003 南通市中考题) 解：a +4ab+4b = 3、分组分解法

要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式并提出公因式b，从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式 m+n，从而得到(a+b)(m+n) 例3、分解因式m +5n-mn-5m 解: m +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n =(m -5m )+(-mn+5n) =m(m-5)-n( m_5) =(m-5)(m-n) 4、十字相乘法

对于mx +px+q形式的多项式，如果例4、分解因式 7x-19x-6 分析：1 -3 7 2 2-2仁-19 解：7x -19x-6= 5、配方法

对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。

例5、分解因式x +3x-40 解 x +3x-40=x +3x+( ) -( ) -40 =(x+ )-() =(x+ + )(x+ -) =(x+8)(x-5) 6、拆、添项法

可以把多项式拆成若干部分，再用进行因式分解。例 6、分解因式 bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)

解: bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)

=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b) =c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a) =(c+b)(c-a)(a+b) 7、换元法

有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，例7、分解因式 2x -x -6x -x+2 解：2x -x -6x -x+2=2(x +1)-x(x +1)-6x

然后进行因式分解，最后再转换回来。

(7x+2 ) (x-3)

axb=m,cx d=q且ac+bd=p，则多项式可因式分解为 (ax+d)(bx+c)

a，把它后两项分成一组，

(a+2b)

=x [2(x + )-(x+ )-6 令 y=x+ , x [2(x + )-(x+ )-6 =x [2(y -2)-y-6] =x (2y -y-10) =x (y+2)(2y-5) =x (x+ +2)(2x+ -5) =(x +2x+1) (2x -5x+2) =(x+1) (2x-1)(x-2) 8、求根法

令多项式f(x)=o,求出其根为x ,x ,x , ..... 则y多项式可因式分解为 f(x)=(x-x )(x-x )(x- x ) .......... (x-x )

例 8、分解因式 2x +7x -2x -13x+6 解：令 f(x)=2x +7x -2x -13x+6=0

通过综合除法可知，f(x)=0根为，-3, -2, 1 则 2x +7x -2x -13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1) 9、图象法

令y=f(x)，做出函数y=f(x)的图象，找到函数图象与 X轴的交点x ,x ,x , ........... x，则多项式可因式分解为f(x)=(x-x )(x-x )(x- x ) ......... (xx ) 例9、因式分解 x +2x -5x-6 解：令 y= x +2x -5x-6

作出其图象，见右图，与 x轴交点为-3 , -1, 2 则 x +2x -5x-6=(x+1)(x+3)(x-2) 10、主元法

先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排列，再进行因式分解。例 10、分解因式 a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)

分析：此题可选定 a为主元，将其按次数从高到低排列解: a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)=a (b-c)-a(b -c )+(b c-c b) =(b-c) [a -a(b+c)+bc] =(b-c)(a-b)(a-c) 11、利用特殊值法

将2或10代入x，求出数P，将数P分解质因数，将质因数适当的组合，并将组合后的每一个因数写成 10的和与差的形式，将 2或10还原成x，即得因式分解式。例11、分解因式x +9x +23x+15

解：令 x=2，则 x +9x +23x+15=8+36+46+15=105 将105分解成3个质因数的积，即105=3X 5X7 注意到多项式中最高项的系数为 1，而3、5、7分别为x+1 , x+3 , x+5，在x=2时的值

则 x +9x +23x+15=

(x+1 )( x+3)

( x+5)

12、待定系数法

首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解。例12、分解因式 x -x -5x -6x-4

分析：易知这个多项式没有一次因式，因而只能分解为两个二次因式。解：设 x -x -5x -6x-4=(x +ax+b)(x +cx+d) =x +(a+c)x +(ac+b+d)x +(ad+bc)x+bd

f(x)=