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三垂线定理
黄冈中学 肖平安
【教学目的】
1、使学生掌握三垂线定理及其逆定理,并能进行初步的应用。
2、向学生渗透化归的数学思想,培养学生的空间相象能力和逻辑推理能力。 【教学重点】
三垂线定理的证明及其应用。 【教学难点】
认识定理的本质,建立空间三线垂直的模型。 【教学方法】
启发式教学法。 【教 具】
多媒体,三角板。 【教学过程】
(一)回顾引入
平面的垂线垂直于平面内的每一条直线,平面的斜线不能垂直于平面内的每一条直线,但也不是
与每一条直线都不垂直,那么如何判定斜线与平面内的任一直线是否垂直呢?从而引出课程。
(二)发现命题
1、实验:将三角板一条直角边放在桌面内,另一条直角边与桌面垂直,将一直尺a放在桌面内,过三角板的顶点O且与桌面内的直角边垂直(AO⊥a).
2、观察:直尺a与三角板的斜边PO所成角是多少度?(可用另一三角板度量) 3、结果:PO与a成90°角,即a⊥PO。
4、深化:如果将直线a在平面内平行移动到任意位置这种关系是否存在?(a⊥PO)。
5、结论:引导学生把PA、PO、AO、a抽象为直线,桌面抽象为平面,用数学符号将以上实验抽象为一个命题(若PA⊥a)。
(三)证明命题
结论的正确性需要严格的证明,请同学用数学符号和箭头形式写出证明过程。
PAaPAaa平面PAO
aPO.
aaAOaPO平面PAO
(四)表述定理
以上命题已经证明是正确的,应成为一个定理,这个定理叫三垂线定理。 1、哪位同学能用简炼的语言来表述三垂线定理? 2、请同学朗读三垂线定理。
3、三垂线定理的逆命题该怎样表述? 4、以上逆命题是否成立?你能证明吗? 5、给出三垂线定理的逆定理。 (五)分析定理
1、三垂线定理(或逆定理)中有几个元素?
2、三垂线定理(或逆定理)描述的是哪三条直线的垂直关系? 3、三条直线间有怎样的垂直关系? (六)应用举例
例:已知VA⊥VB,VA⊥VC,VD⊥BC
求证:AD⊥BC。
(1)引导学生找出思路 (2)让学生写出证明过程
VAVBVA平面VBC
ADBC.
VAVCBCVD
(3)教师指出;应用三垂线定理(或逆定理)解决问题时,找出平面的垂线是关键。 (七)反馈练习
1、课本P321(演板)
2、思考题(依教学进程选择使用)
在正方体ABCD-EFGH中,求BD与EC所成的角。
解:连结AC
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