等比数列知识点梳理

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等比数列知识点及常用性质

an

qq0n2,且nN*

1. 等比数列的定义：an1，q称为公比

2. 通项公式：

a

ana1qn11qnABna1q0,AB0

aq， 首项：1；公比：q

推广：， 从而得

3. 等比中项

2

（1）如果a,A,b成等比数列，那么A叫做a与b的等差中项．即：Aab或Aab

注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（两个等比中项互为相反数）

an2an1an1an（2）数列是等比数列

S

4. 等比数列的前n项和n公式：

Sna1

(1) 当q1时， n

anamqnm

qnm

an

am

1q(2) 当q1时，

aa

11qnAABnA'BnA'1q1q（A,B,A',B'为常数） 5. 等比数列的判定方法

an1qan或

an1

q(q为常数，an0)an{an}为等比数列

Sn

a11qn



a1anq

1q

（1）用定义：对任意的n,都有

an2an1an1an1an1{a}

（2） 等比中项：（0）n为等比数列

anABnAB0{an}

（3） 通项公式：为等比数列

SnAABn或SnA'BnA'A,B,A',B'为常数{an}

（4） 前n项和公式：为等比数列（q1） 6. 等比数列的证明方法

an

qq0n2,且nN*aqan{an}

依据定义：若an1或n1为等比数列 7. 注意

aaaS

（1）等比数列的通项公式及前n和公式中，涉及到5个元素：1、q、n、n及n，其中1、q称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。

ana1qn1

（2）为减少运算量，要注意设项的技巧，一般可设为通项；

aa2

,,a,aq,aq2

如奇数个数成等差，可设为…，qq…（公比为q，中间项用a表示）； 8. 等比数列的性质 (1) 当q1时

①等比数列通项公式为公比q

a11qna1a1qna1aSn1qnAABnA'BnA'

1q1q1q1q②前n项和，系数和常数项是互为相

ana1qn1

a1n

qABnAB0q是关于n的带有系数的类指数函数，底数




反数的类指数函数，底数为公比q（q1）

nm*aaq{a}nmnN(2) 对任何m,n,在等比数列中,有,特别的,当m=1时,便得到等比数列的通

项公式.因此,此公式比等比数列的通项公式更具有一般性。

*anamak2anamasatN(3) 若m+n=s+t (m, n, s, t),则.特别的,当n+m=2k时,得

aaa2an1a3an2注：1n

ank

{}{}k

{a}{b}{kan}{an}{kanbn}bn

(4) 列n,n为等比数列,则数列an,,, (k为非零常数) 均为等比数列.

*a,a,a,a,

为等比数列,每隔k(kN)项取出一项(mmkm2km3k)仍为等比数列 {a}{logaan}

(6) 如果n是各项均为正数的等比数列,则数列是等差数列

{a}SSnS3nS2n,S

（q1,n不为偶数）(7) 若n为等比数列,则数列n，2n，，成等比数列

{a}aaa3naaanaaa2n

(8) 若n为等比数列,则数列12, n1n2, 2n12n2成等比数列

(9) ①当q1时， ②当0<q1时，

(5) 数列

{an}

,

③当q=1时,该数列为常数列（此时数列也为等差数列）; ④当q<0时,该数列为摆动数列.

{

a10，则{an}为递增数列a10，则{an}为递减数列

{

a10，则{an}为递减数列a10，则{an}为递增数列



*{a}

(10)（了解）在等比数列n中, 当项数为2n (nN)时,

SnmSnqnSm{an}

(11)（了解）若是公比为q的等比数列,则





S奇1S偶q

,.

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