球体体积公式的推导

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球体体积公式的推导

1、如图，设球体的球心为O，半径为R，球体体积为V，用垂直于半径 OA的

R

平面将半球分成n个圆柱体，则每个圆柱体的高是，半径分别为r1、r2、r3、…rn

n

由相交弦定理得 r12 =

2

湖北仙桃二中 刘四云

1RR2

·(2R—) = R2(—2) ,

nnnn

222R2R222r2 = ·(2R—) = R(—2) ,，

nnnn

223R3R223r3 = ·(2R—) = R(—2)， nnnn

2

………………… rn2

n2nRnR2n2

= ·(2R— ) = R ·（ — 2）

nnnn

R32R32222 R323321

∴V半球 = 兀·(—)+兀·(—2)+兀·(—2)……

nnn2nnnnnn

R3n22n+兀·（ — 2）

nnn

R3222232222n22n1

=兀·（+++……+ —2—2—2—……—2）

nnnnnnnnnR3123n122232n2

=兀·（2×—）

nn2nR31n2n1n1 =兀·〔n + 1—·〕 2n6n

=兀R3 〔

n112n1n1 —·〕 2

n6n

4n23n1

=兀R · 2

6n

3

=兀R3 ·（

211

2） +

32n6n11

当n趋近于∞时， = 0，2 = 0，

2n6n


所以V

半球

= 兀R3（

2

+ 0 + 0 ） 3

=

2

兀R3 34

V球体体积 = 兀R3。

3

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