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国际数学奥林匹克（IMO）竞赛试题（第30届）
1. 试证明集合{1，2，...，1989}可以分拆成117个子集合A1，A2，...，A117 （即这些子集合互不相交且并集为整个集合），满足每个Ai包含17个元素，并且每个Ai中元素之和都相等．
2. 锐角△ABC，内角∠A的角平分线交△ABC的外界圆于A_1，类似定义B1，C1点．设AA1与∠ B，∠C的外交平分线交于A0点，类似定义B0，C0点．
求证：△A0B0C0的面积是六边形AC1BA1CB1的 两倍也是△ABC面积的至少4倍． 3. 设n，k是正整数，S是由平面上n个点构成的集合并且无三线共点，对任何S中的点P至少存在S中的k个点与P等距离． 求证： k<1/2+2n．
4. 凸四边形ABCD的边AB，AD，BC满足AB=AD+BC，四边形内部有一与直线CD距离为h的点P，并且AP=h+AD，BP=h+BC， 求证：1/h <=1/
AD +1/
BC．
5. 试证明对每个正整数n，存在n个连续的正整数使得其中无素数或素数的幂． 6. 设{x1，x2，...，xm} 是{1，2，...，2n}的一个排列，其中n是一个正整数．如果|xi-xi+1|=n对至少 {1，2，...，2n-1}中的一个i成立就说这个排列{x1，x2，...，xm}具有性质P． 试证明对于任意的n，具有性质P的排列都比不具有的多．
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2022-03-21
