解三角形知识结构

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第一章 解三角形知识结构

⑴ 正弦定理的证明：①利用三角函数定义证明 ②利用三角形外接圆证明 ③利用等积法证明

abc

⑵ 正弦定理的内容：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 ==

sinAsinBsinC

abacbc

① ② asinB=bsinA,asinC=csinA,bsinC=cinB =,=,=

sinAsinBsinAsinCsinBsinC

asinAasinAbsinB

③ = ④ a=2RsinA,b=2RsibB,c=2RsinC ,=,=

bsinBcsinCcsinC

111⑶ 正弦定理的推

⑤ a:b:c=sinA:sinB:sinC ⑥ SΔ=absinC=bcsinA=acsinB

222

abca+b+c

正 ⑦ ====2R

sinAsinBsinCsinA+sinB+sinC ① 已知两角和任一边，求其它边和角 弦 ⑷ 正弦定理的定

② 已知两边和其中一边的对角，求其它边和角

应用

⑴ 若A为钝角：① 当a＞b时，则有一解；② 当a=b时，则无解；③ 当a＜b时，则无解；

⑸ 已知a、b、A,关于解的个数

b时，则无解；

的讨论

① 当a＞b时，则有一解；

⑶ 若A为锐角： ② 当a＝b时，则无解；

ⅰ. a＞bsinA, 则有两个解;

③ 当a＜b时，则无解 ⅱ. a＝bsinA, 则有一个解;

ⅲ. a＜bsinA, 则无解;

⑹三角形的元素及解三角形：一般地，把三角形的三个角A、B、C和他们的对边a、b、c叫做三角形的元素；已知三角

形的几个元素，求其它元素的过程，叫做解三角形；

⑴ 余弦定理的证明：向量法

⑵ 余弦定理的内容：三角形中任何一边的平方等于其它两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的2倍，即 a2b2c2-2bccosA,b2a2c2-2accosB,c2a2b2-2abcosC

⑵ 若A为直角：① 当a＞b时，则有一解；② 当a=b时，则无解；③ 当a＜

解三角形

b2+c2-a2a2+c2-b2a2+b2-c2余

,cosB =,cosC = ⑶ 余弦定理的推论：cosA = 2bc2ac2ab

弦

① 已知三角形两边和它们的夹角，求其它边和角；

⑷ 正弦定理的应定

② 已知三角形的三条边，求三角形的三个角；

用

① a2b2c2A为钝角△ABC为钝角三角形

⑸ 关于三角形内角的判断

② a2b2c2Ａ为直角△ABC为直角三角形 ③ a2b2c2Ａ为锐角 △ABC为锐角三角形

① 俯角和仰角：视线和水平线之间的夹角，视线在水平线下方成俯角，视线在水平线上方的成仰角；



⑴基本概

② 坡角：坡向与水平向的夹角

③ 方向角：指北或指南的方向线与目标方向线所成的小于９０°的水平角； ④ 方位角：指北方向线按顺时针时针转到目标方向线为止的水平角；

① 距离问题：ａ．一个可到达的点到另一个不可到达的点之间的距离；ｂ．两个不可到达的点的之间

⑵实际应用举

的距离；

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