对数函数及其性质知识点

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对数函数及其性质

1.对数函数：一般地，把函数y=logax(a>0,且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0,+∞)．

2.为了更全面、更深刻的理解对数函数的概念，还应从以下三个方面理解： （1）定义域：因为对数函数是由指数函数变化而来的，对数函数的自变量x恰好是指数函数的函数值y，所以对数函数的定义域是（0，+∞）；

(2)底数：对数函数的底数a＞0且a≠1；

xx

（3）形式上的严格性：和指数函数一样，在对数函数的定义表达式y=loga（a＞0且a≠1）中，loga前面的系数必须是1，底数为大于0且不等于1的常数.对数的真数仅有自变量x，否则不是对数函数.例如y=loga

（x-1）

，y=2loga，y=loga+

xx

1

等函数是由对数函数变化而得到的，但不是对数函数. 2

指数函数和对数函数对照表

名称 一般形式 定义域 值域

x

指数函数 y=a（a＞0且a≠1）

R （0，＋∞）

x

对数函数

y=loga（a＞0且a≠1）

（0，＋∞）

R

函数值 变化 情况

ax1，x0，x

，x0， 当a1时，a1

0ax1，x00ax1，x0x

，x0， 当0a1时，a1

ax1，x0

当a＞1时，y=a是增函数；

x

当0＜a＜1时，y=a是减函数．

x

x

x

logax0，x1，

当a1时，logax0，x1，

logx0，0x1；alogax0，x1，

当0a1时，logax0，x1，

logx0，0x1.a

当a＞1时，y=loga是增函数；

x

当0＜a＜1时，y=loga是减函数．

x

单调性

y=a（a＞0且a≠1）的图象与y=loga（a＞0且a≠1）的图象关于直线y=x对称．

当a＞1时， 当0＜a＜1时，

图象





补充 性质

当a＞1时，图象向上越靠近y轴，底数越大；

0＜a＜1时，图象向上越靠近y轴，底数越小．



当a＞1时，图象向右越靠近x轴，底数越大； 当0＜a＜1时，图象向右越靠近x轴，底数越小．


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3.反函数：一般地，式子y=f(x)表示y是自变量x的函数，设它的定义域为A，值域为C. 我们从式子y=f(x)中解出x，得到式子x=φ(y).如果对于y在C中的任何一个值，通过式子x=φ(y)，x在Ａ中都有唯一确定的值和它对应，那么式子x=φ(y) 就表示x是自变量y的函数。这样的函数x=φ(y) 叫做函数

-1-1

y=f(x)的反函数，记作x=f (y), 即x=φ(y)=f (y).

-1

在函数式x=f (y)中，y表示自变量，x表示函数。但在习惯上，我们一般用x表示自变量，用y

-1-1

表示函数，为此，我们常常对调x=f (y)中的字母x,y，把它改写成y=f (x). 函数y=f(x) 反函数的反函数正好是它的本身。

-1

函数y=f(x)的定义域正好是它反函数y=f (x)的值域；反之，函数y=f(x)的值域也是它反函数y=f -1

(x)的定义域。

4.一个函数存在反函数的充要条件是：变量x、y之间具有一一对应关系

可从以下两个角度研究：（1）方程解的个数上，由y=f（x）出发，所得的x仅有一个解；（2）图像交点个数上，与直线y=y0（y0∈A）有且只有一个交点.

－1

5.（1）函数y=f(x)的图象与它的反函数y=f(x)的图象关于直线y=x对称； （2）若函数y=f(x)的图像上有一点（a，b），则（b，a）必在其反函数的图像上，反之，若（b，a）必在反函数的图像上，则（a，b）必在原函数图像上； （3）互为反函数的两个函数具有相同的单调性.

6.函数y=x的定义域是R，值域是[0,+).由y=x解出x=

2

2

y,对于y在[0,+)上任一个值，通过式子

x=y，x在R上有两个值和它对应，故x不是y的函数。这表明函数y=x2没有反函数，所以并非所

有的函数都有反函数！

-1-1

7.求反函数的步骤：（1）先求y=f（x）的值域；（2）由y=f(x)解出x=f（y）；（3）把x=f（y）改写成

-1

y=f（x），并写出定义域（即原函数的值域）.

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