二次函数知识点总结

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《二次函数》知识点总结

一、相关概念及定义

b，c是常数，a0）的函数，叫做1 二次函数的概念：一般地，形如yax2bxc（a，

c可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 二次函数。二次项系数a0，而b，

2 二次函数yax2bxc的结构特征：

（1）等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．

b，c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． （2）a，

二、二次函数各种形式之间的变换

1二次函数yaxbxc用配方法可化成：yaxhk的形式，其中

2

2

b4acb2

h，k.

2a4a

2 二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①yax；②yaxk；③yaxh；④yaxhk；⑤yaxbxc. 三、二次函数解析式的表示方法

1 一般式：yax2bxc（a，b，c为常数，a0）；

2

2

22

2

2 顶点式：ya(xh)2k（a，h，k为常数，a0）；

3 交点式：ya(xx1)(xx2)（a0，x1，x2是抛物线与x轴两交点的横坐标）.

4 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可

以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即b24ac0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化. 四、二次函数yax2bxc图象的画法

1 五点绘图法：利用配方法将二次函数yax2bxc化为顶点式ya(xh)2k，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称的描点画图.一般我们选取的

c、以及0，c关于对称轴对称的点2h，c、与x轴的五点为：顶点、与y轴的交点0，

0，x2，0（若与x轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 交点x1，

2 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点. 五、二次函数yax的性质

a的符号

2

开口方向 顶点坐标 对称轴 向上

性质

x0时，y随x的增大而增大；x0时，y随

x的增大而减小；x0时，y有最小值0．

a0

0，0 y轴 y轴

a0 向下

0，0

x0时，y随x的增大而减小；x0时，y随x的增大而增大；x0时，y有最大值0．



六、二次函数yax2c的性质

a的符号

开口方向 顶点坐标 对称轴 向上

性质

x0时，y随x的增大而增大；x0时，y随x的增大而减小；x0时，y有最小值c． x0时，y随x的增大而减小；x0时，y随x的增大而增大；x0时，y有最大值c．

a0

0，c

y轴

a0 向下

2

0，c

y轴

七、二次函数yaxh的性质：

a的符号

开口方向 顶点坐标 对称轴 向上

性质

xh时，y随x的增大而增大；xh时，y随x的增大而减小；xh时，y有最小值0．

a0

h，0

X=h


a0 向下

2

h，0

X=h

xh时，y随x的增大而减小；xh时，y随x的增大而增大；xh时，y有最大值0．

八、二次函数yaxhk的性质

a的符号

开口方向 顶点坐标 对称轴 向上

性质

xh时，y随x的增大而增大；xh时，y随x的增大而减小；xh时，y有最小值k． xh时，y随x的增大而减小；xh时，y随x的增大而增大；xh时，y有最大值k．

a0

h，k

X=h

a0 向下

2

h，k

X=h

九、抛物线yaxbxc的三要素：开口方向、对称轴、顶点.

1 a的符号决定抛物线的开口方向：当a0时，开口向上；当a0时，开口向下；

a相等，抛物线的开口大小、形状相同.

2对称轴：平行于y轴（或重合）的直线记作x

b

.特别地，y轴记作直线x0. 2a

b4acb2

（，）3顶点坐标：

2a4a

4顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开

口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.

十、抛物线yaxbxc中，a,b,c与函数图像的关系 1 二次项系数a

二次函数yax2bxc中，a作为二次项系数，显然a0．

⑴ 当a0时，抛物线开口向上，a越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大； ⑵ 当a0时，抛物线开口向下，a越小，开口越小，反之a的值越大，开口越大． 总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小． 2一次项系数b

在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在a0的前提下，

b

当b0时，0，即抛物线的对称轴在y轴左侧；

2ab

当b0时，0，即抛物线的对称轴就是y轴；

2ab

当b0时，0，即抛物线对称轴在y轴的右侧．

2a

⑵ 在a0的前提下，结论刚好与上述相反，即

b

当b0时，0，即抛物线的对称轴在y轴右侧；

2ab

当b0时，0，即抛物线的对称轴就是y轴；

2ab

当b0时，0，即抛物线对称轴在y轴的左侧．

2a

总结起来，在a确定的前提下，b决定了抛物线对称轴的位置． 总结： 3常数项c

⑴ 当c0时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当c0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当c0时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置． 总之，只要a，b，c都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．

2

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