【组卷】二次函数压轴题1

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二次函数压轴题1

1．如图，已知抛物线y=ax+bx+c过点A（﹣3，0），B（﹣2，3），C（0，3），其顶点为D． （1）求抛物线的解析式；

（2）设点M（1，m），当MB+MD的值最小时，求m的值；

（3）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值；

（4）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点N，E为直线AC上任意一点，过点E作EF∥ND交抛物线于点F，以N，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由．

2





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2．如图1，已知二次函数y=ax+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的图象过点O（0，0）和点A（4，0），函数图象最低点M的纵坐标为﹣

，直线l的解析式为y=x．

2



（1）求二次函数的解析式；

（2）直线l沿x轴向右平移，得直线l′，l′与线段OA相交于点B，与x轴下方的抛物线相交于点C，过点C作CE⊥x轴于点E，把△BCE沿直线l′折叠，当点E恰好落在抛物线上点E′时（图2），求直线l′的解析式；

（3）在（2）的条件下，l′与y轴交于点N，把△BON绕点O逆时针旋转135°得到△B′ON′，P为l′上的动点，当△PB′N′为等腰三角形时，求符合条件的点P的坐标．

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3．如图，抛物线y=x+

2

x+c与x轴的负半轴交于点A，与y轴交于点B，连结AB，点C（6，）在

抛物线上，直线AC与y轴交于点D． （1）求c的值及直线AC的函数表达式；

（2）点P在x轴正半轴上，点Q在y轴正半轴上，连结PQ与直线AC交于点M，连结MO并延长交AB于点N，若M为PQ的中点． ①求证：△APM∽△AON；

②设点M的横坐标为m，求AN的长（用含m的代数式表示）．





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4．如图1，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线y=﹣x﹣

2

x+8与x轴正半轴交于点A，

与y轴交于点B，连接AB，点M，N分别是OA，AB的中点，Rt△CDE≌Rt△ABO，且△CDE始终保持边ED经过点M，边CD经过点N，边DE与y轴交于点H，边CD与y轴交于点G． （1）填空：OA的长是 ，∠ABO的度数是 度； （2）如图2，当DE∥AB，连接HN． ①求证：四边形AMHN是平行四边形；

②判断点D是否在该抛物线的对称轴上，并说明理由；

（3）如图3，当边CD经过点O时，（此时点O与点G重合），过点D作DQ∥OB，交AB延长线上于点Q，延长ED到点K，使DK=DN，过点K作KI∥OB，在KI上取一点P，使得∠PDK=45°（点P，Q在直线ED的同侧），连接PQ，请直接写出PQ的长．





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5．如图，已知二次函数y=ax+bx+c（a≠0）的图象经过A（﹣1，0）、B（4，0）、C（0，2）三点． （1）求该二次函数的解析式；

（2）点D是该二次函数图象上的一点，且满足∠DBA=∠CAO（O是坐标原点），求点D的坐标；

（3）点P是该二次函数图象上位于第一象限上的一动点，连接PA分别交BC、y轴于点E、F，若△PEB、△CEF的面积分别为S1、S2，求S1﹣S2的最大值．

2





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6．如图1，抛物线C1：y=x+ax与C2：y=﹣x+bx相交于点O、C，C1与C2分别交x轴于点B、A，且B为线段AO的中点． （1）求

的值；

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（2）若OC⊥AC，求△OAC的面积；

（3）抛物线C2的对称轴为l，顶点为M，在（2）的条件下：

①点P为抛物线C2对称轴l上一动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；

②如图2，点E在抛物线C2上点O与点M之间运动，四边形OBCE的面积是否存在最大值？若存在，求出面积的最大值和点E的坐标；若不存在，请说明理由．





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7．已知，抛物线y=ax+bx+3（a＜0）与x轴交于A（3，0）、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴是直线x=1，D为抛物线的顶点，点E在y轴C点的上方，且CE=（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标； （2）求证：直线DE是△ACD外接圆的切线； （3）在直线AC上方的抛物线上找一点P，使S△ACP=

S△ACD，求点P的坐标；

．

2

（4）在坐标轴上找一点M，使以点B、C、M为顶点的三角形与△ACD相似，直接写出点M的坐标．





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8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x﹣

2

x﹣与x轴交于A、B两点（点A在点B的左

侧），与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D，点E（4，n）在抛物线上．



（1）求直线AE的解析式；

（2）点P为直线CE下方抛物线上的一点，连接PC，PE．当△PCE的面积最大时，连接CD，CB，点K是线段CB的中点，点M是CP上的一点，点N是CD上的一点，求KM+MN+NK的最小值； （3）点G是线段CE的中点，将抛物线y=

x﹣

2

x﹣沿x轴正方向平移得到新抛物线y′，y′

经过点D，y′的顶点为点F．在新抛物线y′的对称轴上，是否存在点Q，使得△FGQ为等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

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9．如图，已知抛物线y=ax+bx+c（a≠0）的图象的顶点坐标是（2，1），并且经过点（4，2），直线y=

2

x+1

与抛物线交于B，D两点，以BD为直径作圆，圆心为点C，圆C与直线m交于对称轴右侧的点M（t，1），直线m上每一点的纵坐标都等于1． （1）求抛物线的解析式； （2）证明：圆C与x轴相切；

（3）过点B作BE⊥m，垂足为E，再过点D作DF⊥m，垂足为F，求BE：MF的值．





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10．如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣3x﹣3与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y=x+bx+c经过A，C两点，且与x轴交于另一点B（点B在点A右侧）． （1）求抛物线的解析式及点B坐标；

（2）若点M是线段BC上一动点，过点M的直线EF平行y轴交x轴于点F，交抛物线于点E．求ME长的最大值；

（3）试探究当ME取最大值时，在x轴下方抛物线上是否存在点P，使以M，F，B，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，试说明理由．

2





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11．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣的左侧），与y轴交于点C． （1）求直线BC的解析式；

x+

2

x+2与x轴交于A，B两点（点A在点B

（2）点D是线段BC中点，点E是BC上方抛物线上一动点，连接CE，DE．当△CDE的面积最大时，过点E作y轴垂线，垂足为F，点P为线段EF上一动点，将△CEF绕点C沿顺时针方向旋转90°，点F，P，E的对应点分别是F′，P′，E′，点Q从点P出发，先沿适当的路径运动到点F′处，再沿F′C运动到点C处，最后沿适当的路径运动到点P′处停止．求△CDE面积的最大值及点Q经过的最短路径的长； （3）如图2，直线BH经过点B与y轴交于点H（0，3）动点M从O出发沿OB方向以每秒1个单位长度向点B运动，同时动点N从B点沿BH方向以每秒2个单位长度的速度向点H运动，当点N运动到H点时，点M，点N同时停止运动，设运动时间为t．运动过程中，过点N作OB的平行线交y轴于点I，连接MI，MN，将△MNI沿NI翻折得△M′NI，连接HM′，当△M′HN为等腰三角形时，求t的值．





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12．如图，抛物线y=﹣x+

2

x+6交x轴于A、B两点，点A在点B的右侧，交y轴于点C，点D为顶点．

（1）求点A、D的坐标；

（2）若点P是抛物线上位于第一象限内对称轴右侧的一个动点，当S△ABP=45时，在线段AC上有一动点Q，当PQ+

QA的值最小时，求Q的坐标和PQ+

QA的最小值；

（3）如图2，点F是y轴上一点，且OF=2OB，连接BF将△BOF沿x轴向右平移，得△B′O′F′，当点F′恰好落在AC上时，连接OF′，将△AOF′绕点F′顺时针旋转α（0°＜α＜180°），记旋转中的△AOF′为△A′O″F′，在旋转过程中，设直线A′O″分别与x轴、直线AC交于点M、N，当△AMN是等腰三角形时，求AN的值．





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13．如图1，等腰△ABO的底边OA在x轴上，点O为坐标系原点，A（4，0），△ABO的面积为8边AB中点，抛物线经过A、B、O三点． （1）求抛物线的解析式及直线OC的解析式；

点C为

（2）若点P为直线OC上方抛物线上的一个动点，连接PO、PC，当△POC的面积最大时，过点P向x轴作垂线交x轴于点G，在直线OB上找一个点K，使∠GKO=∠GCA，求线段OK的长度：

（3）如图2，抛物线对称轴与x轴交于点H，在线段BH上有一点E距x轴4个单位长，直线AE交线段OC于点D，交y轴于点F，△ODE从点E开始沿射线DF平移，同时点T从点F开始沿折线FO一OA运动，且△ODE平移的速度为点T运动速度的

倍，当点T到达点A时△ODE停止运动，设△ODE平移过程中对应

的图形为△O'D'E'，当△TEE′为等腰三角形时，求线段EE'的长度．





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14．如图1，抛物线y=ax+（a+3）x+3（a≠0）与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，在x轴上有一动点E（m，0）（0＜m＜4），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M．

（1）求a的值和直线AB的函数表达式；

2

（2）设△PMN的周长为C1，△AEN的周长为C2，若=，求m的值；

（3）如图2，在（2）条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接E′A、E′B，求E′A+

E′B的最小值．





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15．抛物线y=ax+bx+4（a≠0）过点A（1，﹣1），B（5，﹣1），与y轴交于点C． （1）求抛物线的函数表达式；

（2）如图1，连接CB，以CB为边作▱CBPQ，若点P在直线BC上方的抛物线上，Q为坐标平面内的一点，且▱CBPQ的面积为30，求点P的坐标；

（3）如图2，⊙O1过点A、B、C三点，AE为直径，点M为

上的一动点（不与点A，E重合），∠MBN为

2

直角，边BN与ME的延长线交于N，求线段BN长度的最大值．





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16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax+bx+c（a≠0）的顶点为B（2，1），且过点A（0，2），直线y=x与抛物线交于点D，E（点E在对称轴的右侧），抛物线的对称轴交直线y=x于点C，交x轴于点G，EF⊥x轴，垂足为F，点P在抛物线上，且位于对称轴的右侧，PQ⊥x轴，垂足为点Q，△PCQ为等边三角形

2



（1）求该抛物线的解析式； （2）求点P的坐标； （3）求证：CE=EF；

（4）连接PE，在x轴上点Q的右侧是否存在一点M，使△CQM与△CPE全等？若存在，试求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．[注：3+2

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=（

+1）]．

2




17．如图，已知点D在双曲线y=

2

（x＞0）的图象上，以D为圆心的⊙D与y轴相切于点C（0，4），与

x轴交于A，B两点，抛物线y=ax+bx+c经过A，B，C三点，点P是抛物线上的动点，且线段AP与BC所在直线有交点Q．

（1）写出点D的坐标并求出抛物线的解析式； （2）证明∠ACO=∠OBC；

（3）探究是否存在点P，使点Q为线段AP的四等分点？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．





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18．如图，二次函数y=ax+bx+3的图象与x轴相交于点A（﹣3，0）、B（1，0），与y轴相交于点C，点G是二次函数图象的顶点，直线GC交x轴于点H（3，0），AD平行GC交y轴于点D． （1）求该二次函数的表达式； （2）求证：四边形ACHD是正方形；

（3）如图2，点M（t，p）是该二次函数图象上的动点，并且点M在第二象限内，过点M的直线y=kx交二次函数的图象于另一点N．

①若四边形ADCM的面积为S，请求出S关于t的函数表达式，并写出t的取值范围； ②若△CMN的面积等于

，请求出此时①中S的值．

2





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19．在平面直角坐标系中，已知A、B是抛物线y=ax（a＞0）上两个不同的点，其中A在第二象限，B在第一象限，

（1）如图1所示，当直线AB与x轴平行，∠AOB=90°，且AB=2时，求此抛物线的解析式和A、B两点的横坐标的乘积．

（2）如图2所示，在（1）所求得的抛物线上，当直线AB与x轴不平行，∠AOB仍为90°时，A、B两点的横坐标的乘积是否为常数？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．

（3）在（2）的条件下，若直线y=﹣2x﹣2分别交直线AB，y轴于点P、C，直线AB交y轴于点D，且∠BPC=∠OCP，求点P的坐标．

2





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20．已知抛物线y=﹣x﹣2x+a（a≠0）与y轴相交于A点，顶点为M，直线y=交于B，C两点，并且与直线MA相交于N点．

2

x﹣a分别与x轴、y轴相

（1）若直线BC和抛物线有两个不同交点，求a的取值范围，并用a表示交点M，A的坐标；

（2）将△NAC沿着y轴翻转，若点N的对称点P恰好落在抛物线上，AP与抛物线的对称轴相交于点D，连接CD，求a的值及△PCD的面积；

（3）在抛物线y=﹣x﹣2x+a（a＞0）上是否存在点P，使得以P，A，C，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

2





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