孙子兵法

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《孙子兵法》云:“求其上,得其中;求其中,得其下,求其下,必败。” 唐太宗《帝范》卷四:“取法于上,仅得为中,取法于中,故为其下。”

孔子教育学生的话：“取乎其上，得乎其中；取乎其中，得乎其下；取乎其下，则无所得矣”。

下面是刘克峰教授文章里关于数学的一些讨论，很赞成他的意见的。



相比之下，我所见到的一些中学老师，大学教授就显得很迂腐，他们不赞成提前学习，而希望把时间用来慢慢的打基础，但我想，基础固然重要，但我们学到的很多都是近乎无用的所谓技巧，而真正需要做的，是开拓视野，领会本质，学习前沿的知识，基础需要时可以回补。

“法乎其上，取乎其中”



关于学习的方法和对数学的兴趣，我个人的经验是，数学学习应该遵循“法乎其上，取乎其中”的方式，这是事半功倍的好方法。比如学习微积分的知识用来解决许多中学数学问题就非常有用。我初中二年级时数学曾经很差，但我似懂非懂地自学了一些高中数学，再回头来看初中数学，就觉得非常容易。同样我高中时自学了一些大学的数学，中学的数学题就不在话下了。我希望大学生们尽早了解研究生阶段的知识，而研究生则要尽快开始研究训练。技巧训练也很重要，但不要为技巧而技巧，做题的目的是为了掌握知识。而兴趣则往往产生于能够解决困难问题的成就感。在具体的学习过程中，我教导我的学生要上课前预习，课堂上认真做笔记，课后认真复习做习题。采用这样的三步学习法可以有效地提高学习效率。课余时间还要读些课外书，尽量拓广自己的知识面。对于研究生我要求他们在学习过程中要连奔带跑地冲到研究前沿，论文和书籍要一起看。只有读了论文，开始做研究了，才知道什么样的数学有用，应该下功夫，要尽量少做无用功。

我们的教育体制有许多要改进的地方，除了中学里有太多的考试，在大学里，有些老师的知识就过于陈旧和狭窄，而且不努力学习新的知识，更不可能拓宽学生的知识面了。许多学生也动辄以能做上万道习题为荣，或者早早就把自己限制在某个狭窄的研究方向上。这样的教育只能培养给别人打工的工匠，不可能培养出真正的科学家。我觉得对数学专业的学生而言，要首先拓宽眼界，不仅在数学的各个学科之间，更包括物理等相关学科，然后再尽可能地融会贯通，激发出想象力。

物理学家学习数学的方式也许值得我们借鉴，威滕他们大概从来不做数学习题，但却用最快的速度学到他们所需要的数学。哈佛大学数学教授陶布斯曾说，“物理学家先学指标理论，然后才是黎曼几何”。这也是“法乎其上”的学习方式。我觉得我们数学家不仅要时刻留意物理学的发展，更要注意物理学家掌握知识的技巧，那就是在研究中学习，在学习中研究。

物理学家特别青睐“无穷”，甚至有时候不惜以牺牲“严格性”作为代价，比如模群对称，大N极限的陈—塞蒙斯理论，路径积分。虽然费曼的路径积分还缺少严格的数学基础，该理论因其物理上的直观性和便于形式演算在现代量子物理中产生了深远的影响。这与微积分的发展有异曲同工之妙。正所谓“妙在无穷，美即有用”。这种不严格也给了他们无穷的想象空间。




知识和技巧哪个更重要？



我去美国留学时，随身只带了两本书，我想在分析与几何领域大展身手，就不需要学习别的了。1988年9月底,我走进丘成桐先生的办公室,开始了我在哈佛的学习生活。他问我，想开始做研究，还是想继续学更多的数学？我回答想开始做研究。丘先生却对我说，“你要尽可能多地学习数学，因为毕业以后要想学什么新东西就不容易了。”他让我学习代数几何、代数数论、几何分析等许多不相关的课程，有许多内容直到今天我仍然无法完全理解。但这却深刻地影响了我的学术生涯和人生轨迹。在当上教授以后，繁重的教学和科研压力让我体会到丘先生的话是多么的语重心长。

知识与技巧，到底哪一个更加重要呢？我的观点是，对年轻人而言，知识更重要！知识让我们站得更高，看到正确的方向，因为方向错了，一切努力都不会有结果。但是也要承认，研究中关键的突破往往来自于技巧上的创新。做个比喻，一个武林高手，学了很多门派的武功，但是内功不行，就容易走火入魔。大家知道丘先生在众多数学领域都有开创性工作，得益于他极强的分析功底及广博的知识面。现在国内热衷的中学生数学竞赛，就太过于强调技巧，而忽略了更重要的知识。

其实我们的学生从中学开始就应该接受多方面知识的熏陶，让孩子多看名人传记，培养对科学的好奇心才是上上之策。我最近读的牛顿传记就写得非常精彩。正是由于好奇心，牛顿大学二年级给自己提出了几十个有关大自然的问题，为了解决它们，他发展了微积分作为基础，进而发展了三大物理定律。爱因斯坦说过，“想象力比知识更重要”。可是没有深厚的知识底蕴，想象力也只能是空中楼阁。想象力就是将各种知识融会贯通而激发出的火花。所谓“天才”，就是脑袋里时刻放着七八个问题，在阅读文献，与同行交流的同时，不断用新学到的技巧和方法来分析这些问题，看能否找到突破，只要用心坚持，不断积累，总能解决掉其中两三个问题，那么别人就会觉得你是天才了。

如果你还是无法确信什么是好的数学，那么就去读大数学家的著作和文章，跟着大师走总是没错的，因为他们之所以成为大师，就是因为他们选择了正确的研究方向。在读书过程中要注意培养自己对数学的鉴赏能力，发展属于自己的技巧。后来在我研究中成为重要工具的局部化思想就是在国内学习与做硕士论文期间掌握的，当时是受威滕、鲍特等大师的文章启发。后来我用局部化思想来理解我所学到的一切数学知识，就像用一根线串起了许多珠子，有融会贯通的感觉。而我研究生涯的第一步正是得益于广泛的知识积累，把数论的知识用到了拓扑之中。在研究的过程中，我也更加深了对所学知识的理解。哈佛几年的学习，我觉得最重要的收获是开阔了眼界，提高了对“好的数学”的感觉和把握能力。“研究”的英文单词“research”，就是反复寻找，很好地体现了研究的本质。研究一个问题，要首先知道什么是已知的，什么是未知的，确定什么是需要自己努力创新的。丘成桐与杨振宁先生都有常在图书馆翻阅杂志的好习惯，不求懂，只为见多识广。丘先生更以“好读书，而不求甚解”作为广泛猎取知识的好方法。与其他学科一样，数学的每一点进步都是建立在前人工作基础之上的。可谓“开卷有益”！

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