数的奇偶性

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第27讲数的奇偶性

我们知道，能够被2整除的数叫作偶数，不能被2整除的数叫作奇数，0也是偶数。将整数由小到大排列，奇、偶数是交替出现的，相邻两个整数大小相差1．肯定是一奇一偶，每一个整数不是奇数就是偶数，这个属性叫作数的奇偶性。 奇数和偶数的运算有如下一些性质：

(1)两个奇偶性相同的数的和(或差)一定是偶数；两个奇偶性不同的数的和(或差)一定是奇数。反过来，如果两个数的和(或差)是偶数，这两个数的奇偶性相同；两个数的和(或差)是奇数，这两个数肯定为一奇一偶。

(2)奇数个奇数的和(或差)是奇数；偶数个奇数的和(或差)是偶数。任意多个偶数的和(或差)是偶数。

(3)几个数相乘，如果其中有一个因数是偶数，那么积必是偶数；如果所有因数都是奇数，那么积就是奇数，反过来，若干个数的积若是偶数．那么因数中至少有一个是偶数；如果若干个数的积是奇数，那么所有的因数都是奇数。 (4)如果一个偶数能被奇数整除，那么，商必是偶数。偶数除以偶数，如果能整除，商可能是奇数，也可能是偶数。奇数不可能被偶数整除。 总结与提示

整数的奇偶性及与之有关的规律，能够解决许多与奇偶性相关的问题。有些问题表面上看来似乎与奇偶性一点关系也没有，例如棋盘问题、染色问题、覆盖问题等。但只要想办法编上相应的记号，使之成为整数问题，便可以利用数的奇偶性巧妙地解决问题。 思考与练习

(每题10分，共100分)

1．65个连续自然数相加，和是奇数还是偶数?

2．现有9张卡片，每张卡片上面都写着一个一位数。其中3张写着1，3张写着3，3张写着7。你能否从中选出5张卡片，使它们上面的数字之和为207为什么?

3．能否在下式的口中填上“+”或“－”，使得等式成立? 1□2□3□4□5□6□7□8□9=66。

4．一本论文集收入15篇文章，这些文章排版后的页数分别是l，2，3，4，…，15页。如果将这些文章按某种次序装订成册，并统一编上页码，那么每篇文章的第一面是奇数页码的最多有多少页?

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5．99个数排成一行：0，1，3，8，21，…，除了两头的两个数外，每个数的3倍都恰好等于它两边的两个数的和。这99个数中有多少个奇数?

6．用0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这十个数字组成五个两位数，每个数字只能用一次，要求它们的和是一个奇数，并且尽可能地大。那么，这五个两位数的和是多少?

7．一个小于200的自然数，它的每个数字都是奇数，并且它是两个两位数的乘积。这个自然数是多少?

8．音乐教室里有7排椅子，每排7把，每排椅子上坐着一个学生。老师每月都要将座位调换一次，张明同学向老师建议，每个同学都必须与他相邻(前、后、左、右)的某一个同学调换座位。老师告诉他，这样调换是不可能做到的。你知道这是为什么吗?

9．某班同学参加数学竞赛，每张试卷上有50道试题。评分方法是：答对一道给3分，不答给1分，答错倒扣1分。请说明该班同学得分的总和一定是偶数。

10．正方形的展览会场地被分割成16问相等的正方形房间。每个房间都有门通向隔壁房间(如下图)。现在安排入口在右下角，出口在左上角，能不能设计出一条线路，使参观的人不重复地走完所有的房间?

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