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余数三大定理
1. 余数的加法定理
a与b的和除以c的余数,等于a,b分别除以c的余数之和,或这个和除以c的余数。
例1:18,21除以5的余数分别是1和3,而18+21=39除以5的
余数等于4,即是两个余数的和1+3.
当余数的和比除数大时,所求的余数等于余数之和再除以c所得的
余数。
例2:18,23除以5的余数分别是3和3,所以18+23=39除以5
的余数等于3+3=6再除以5的余数,即为1.
论证:设除数为x,第一个商为m,余数为a,则第一个被除数为mx+a,设第二个商为n,余数为b,则第二个被除数为nx+b,两个被除数相加为:(m+n)x+(a+b),因为(m+n)x是x的倍数,所以,两个被除数的和除以x得到的余数为a+b,若a+b>x,则,所求余数为a+b再除以x所得的余数。 2. 余数的乘法定理
a与b的乘积除以c的余数,等于a,b分别除以c的余数的积,或者这个积除以c所得的余数。
例3:18,21除以5的余数分别是1和3,而18×21=378除以5的
余数等于3,即是两个余数的积1×3.
当余数的积比除数大时,所求的余数等于两个余数的积再除以c所得的余数。
例4:18,23除以5的余数分别是3和3,所以18×23=414除以5
的余数等于3×3=9再除以5的余数,即为4.
论证:设除数为x,第一个商为m,余数为a,则第一个被除数为mx+a,设第二个商为n,余数为b,则第二个被除数为nx+b,两个被除数相乘为:(mx+a)×(nx+b)=mnx·x+mb·x+na·x+ab=(mnx+mb+na)x+ab,因为(mnx+mb+na)x是x的倍数,所以,两个被除数的积除以x得到的余数为ab,若ab>x,则,所求余数为ab再除以x所得的余数。 3. 同余定理
若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数,那么称a、b对于模m同余,用式子表示为:a≡b(mod m),左边的式子叫做同余式。同余式读作:a同余于b,模m。由同余的性质我们可以得到一个非常重要的推论:若两个数a、b除以同一个数m,得到的余数相同,则a、b的差一定能被m整除。
例5:18,33除以5的余数都是3,则 33-18=15一定能被5整
除。
论证:设除数为x,第一个商为m,余数为a,则第一个被除数为
mx+a,设第二个商为n(n<m),余数为a,则第二个被除数为nx+a,两个被除数的差为:(m-n)x,(m+n)x是x的倍数,所以,两个被除数的差一定能被x整除。
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