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初三上期数学竞赛试题
一、选择题：（共30分，第小题5分）
1．设a，b为实数，则下列命题中正确的是（ ） A．a>b ==> a2>b2 B．a≠b ==> a2≠b2 C．|a|>b ==> a2>b2 D．a>|b| ==> a2>b2
2．已知四边形ABCD，从①AB∥CD，②AD∥BC，③AB=CD，④AD=BC，⑤AD=DC，⑥CB=CD六个条件中任取两个，能推出四边形ABCD是平行四边形的取法共有（ ） A．6种 B．5种 C．4种 D．3种
3．某商店经销一批衬衣，每件进价为a元，零售价比进价高m%。后因市场变化，该商场把零售价调整为原来零售价的n%出售。那么，调整后每件衬衣的零售价是（ ） A．a(1+m%)(1-n%)元 B．am%(1-n%)元 C．a(1+m%)n%元 D．a(1+m%n%)元 4．如图，设△ABC和△CDE都是正三角形，且∠EBD=62°， 则∠AEB的度数是（ ）
A．124° B．122° C．120° D．118° 5．已知a为非负整数，关于x的方程2xa1xa40 至少有一个整数根，则a可能取值的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4
6．x、y、z是三个非负实数，满足3x2yz5，xyz2。若S2xyz，则S的最大值与最小值的和为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8 二、填空题：（共30分，第小题5分）
7．如图，P是矩形ABCD内一点，若PA=3，PB=4， PC=5，那么PD=_________。
8．某人沿着向上移动的自动扶梯从顶朝下走到底 用了7分30秒，而他沿着同一扶梯从底走到顶
只用了1分30秒。该人上、下的速度不变，那么，如果此人不走，乘该扶梯从底到顶所需时间是（ ） 9．已知a为实数，且使关于x的二次方程xaxa0有实数根，则该方程的根x所能取到的最大值是_________。
10．对于一个非零自然数n，如果能找到非零自然数a和b，使n=a+b+ab则数n为一个“好数”，例如3=1+1+1×1，则3是一个“好数”，在1~20这20个自然数中，“好数”有______个。 11．在直角坐标第中，横纵坐标都是整数的点称为整点，设k为整数，当直线yx3与
2
2
ykxk的交点为整数时，k的值可以取_______个。
12．如果将棱长相等的小正方体按如图的方式摆放，从上 到下依次为第一层，第二层，第三层，……，那么第 2005层的小正方体的个数是_______。 三、解答下列各题：（共60分）
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13．（15分）已知如图，P是等边三角形ABC内部一点， 且∠APC=117°，∠BPC=130°，求以AP、 BP、CP为边的三角形三内角的度数。 14．（15分）设xyz
111
1，求证：x、y、z中，至少有一个数为1。 xyz
15．（15分）某服装车间接到一批支援灾区的紧急生产任务，要求在一个月时间内生产尽可能多的套装（1件衣和一条裤为1套）。已知第一小组甲、乙、丙、丁四个工人生产衣和裤的能力如下：
一天时间甲可做衣4件或裤4条，乙可做衣9件或裤7条，丙可做衣6件或裤8条，丁可做衣11件或裤8条。
问：怎样安排生产可使一周（7天）内生产的服装套数最多（因原料和设备安排，每位工人必须全天做衣或全天做裤）？最多是多少套？ 16．（15分）设非零实数p1、p2，q1、q2满足关系式p1p24(q1q2)。 证明：方程xp1xq10与xp2xq20中至少有一个具有不等实根。
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初三上期数学竞赛试题参考答案
一、选择题：1.D、2.C、3.C、4.B、5.C、6.A 二、填空题：
7．32 提示：以Ｐ为原点建立直角坐标系，求两点间的距离 8．3分45秒 提示：顺流、水流、逆流问题。 9．3
3
12或写为 42
提示：看成关于a的一元二次方程有实根，则△＝１－４x·x2）≥０ 10．12 提示：n+1=a+b+ab+1＝（a+1）（b+1） 即（n+1）是一个合数 11．6个 提示：两方程相减得：x＝－１－12．2011015 提示：
4
；∴k＝－3，－1，0，2，3，5 k1
(12005)2005
2011015
2
三、解答题：
13．如图：思路分析：想方法以PA、PB、PC为边 构成三角形。
如果把△APC绕点A顺时针旋转60°得△AP’B， 而△AP’P为等边三角形，所△P’PB为所构成的三角 形（以PA、PB、PC为边）。
容易求得：∠BP’P=57° ∠P’PB=53° ∠P’BP=70° 14．思想方法：x、y、z中至少有一个为1，则（x－1）、（y－1）、（z－1）至少一个为零，就是（x－1）（y－1）（z－1）= 0 15．①安排丁做衣服，丙做裤。
②一周内甲、乙各做衣x天，y天，则做裤（7－x）天、（7－y）天：
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４x＋9y＋11×7＝4(7-x)＋7(7-y)＋7×8 即：x＋2y＝7
这周内生产的总套数Ｗ＝４x＋9y＋11×7=105＋y 而x＝7－2y≥０ 得：y≤３（且y为正整数） ∴当y＝３时，Ｗ最大＝108套，这时x＝１
这周生产安排为：甲：１天做衣，６天做裤；乙：３天做衣４天做裤； 丙：７天做裤；丁：７天做衣。
16．证明：如果两 个议程均无不等实数根：则p14q1≤０；p24q2≤０ p1p2
2
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2
2
pp2
4(q1q2)p1p2 即：p1p2p12p220
42
2
2
2
2
2
pp3232
p12p20 而：我们知道p120，p20
4242p32
∴ p12p20，上述结论与此矛盾
24
∴ 两个方程中至少有一个具有不等实根。
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本文来源：https://www.wddqxz.cn/8086a2a61611cc7931b765ce050876323012743e.html
2022-03-21
