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第11课时 立体几何趣题——
球在平面上的投影
教学要求：明白球在不同光照下的投影 教学过程：
放在水平面上的球与水平面切于点A，一束光线投射到球上，那么球的影子的轮廓是什么曲线?切点A与轮廓曲线的关系又是什么?
一、平行光线下球的投影
放在水平面上的半径为R的球与水平面切于点止，与水平面所成角为(90)的太阳光投射到球上，则球在水平面上的投影是以A为 一个焦点的椭圆．
分析：显然，当太阳光垂直于水平面，即90时，球在水平面上的投影是以为A圆心，R为半径的圆；当
00900时，球在水平面上的投影是以A为一个焦点的椭圆，如图1．
如图l所示，与球面相切的光线构成一个圆柱面，与球切于圆O，则光线在水平面上的投影，可以看成圆柱面与水平面的交线l1， 设与水平面平行且与球相切的平面与球相切于点D，与圆柱面的交线为l2；P为l1上的任意一点，经过点P的光线为PP’，(P’，为光线PP’与平面的交点)，且与球相切于点C，过点D作与光线平行的直线交水平面于点B，连结PB,易知，PB=P'D=P’C，PA=PC,
2R
’, ’ =
即知PA+PB=PP又PPsin为一定值，则知点P在以A,B为焦点，长轴长为
2R
sin的椭圆上，
二、点光源下的球的投影
放在水平面上的半径为R的球与水平面切于点A，与水平面距离为h的点光源S(S在球面外)投射到球上，则球在水平面上的投影是以A为一个焦点的圆锥曲线或以A为圆心的圆，且其形状与大小与光源到水平面的距离h及SA与水平面所成角有关．
1．当过点S，球心O的直线与水平面垂时，此时必有h>2R．球在水平面上的投影是以球与水平面的切点为圆心的圆(图略)， 2．当过点S、球心O的直线与水平面不垂直时．
①若h>2R，则球在水平面上的投影是以A为一个焦点的椭圆，如图2．
如图2所示，与球O相切的光线构成一个圆锥面．设切点的集合为圆O3；球O1与圆锥面及水平面都相切，与圆锥面的切点的集合为圆O2，与水平面的切点为B；P为球在水平面的投影线上的任意一点，过P的光线与球
O、O1的切点分别为D，C，则有PC=PB、PD=PA，易知CD为两
圆锥母线之差(为一定值)．即PA+PB=CD(定值)，所以，球在水平面上的投影是以A、B为焦点的椭圆.
②若h=2R,则球在水平面上的投影是以A为焦点的抛物线，如图3．
如图3所示，与球O相切的光线构成一个圆锥面．设切点的集合为圆Ol；
过S、O，A的平面与水平面交于AG；圆Ol所在的平面与
水平面的交线为L；P为球在水平面的投影线上的任意一点，过P与平行的平面与圆锥面交于圆O2所以，球在水平面上的投影是以A为焦点，L为准线的抛物线．
3若h<2R，则球在水平面上的投影是以A为一个焦点的双曲线的一支，如图4． ○
如图4所示，与球O相切的光线构成一个圆 锥面．设切点的集合为圆02；球Ol与圆锥面及
水平面都相切，与圆锥面的切点的集合为圆03， 与水平面的切点为月；户为球在水平面的投影线上的任意一点，过户的光线与球O、Ol的切点分 别为G、打，则有PH二PB、PG二PA，且易知GH为两圆锥母线之和(为一定值)．即PB-PA=CH(定值)，所以，球在水平面上的投影是以A,B为焦点的双曲线的一支．
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2022-12-15
