2-7极化恒等式之矩形大法

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学习数学 领悟数学 秒杀数学 第二章 向 量

专题7 极化恒等式之矩形大法



如图，在矩形ABCD中，若对角线AC和BD交于点O，P为平面内任意一点，有以下两个重要的向量关系：①PA2

PC2

PB2

PD2 ；① PAPC

PBPD.

秒杀秘籍：第一讲 极化恒等式之矩形大法



ab2ab2

证明：①连接PO，根据极化恒等式ab2，可得

22

2

2

AC2222

PAPC2POPBPD；

4

2

2

AC2abab2

①根据极化恒等式abPBPD ，可得PAPCPO

422

推广到空间，得到的结论就是：底面是矩形的四棱锥相对侧棱长的平方和以及向量乘积均相等．

【例1】（2015•四川预赛）在矩形ABCD中，满足PA2，AB3，AD4，P为矩形ABCD所在平面上一点，PC21，则PBPD .

1

，则OA的取值2

22

【例2】（2013•重庆卷）在平面内，AB1AB2，OB1OB21，APAB1AB2若OP范围是（ ） 5A．0, 2

57

,B.  22

5

C. 2,





2 

7D. 2,



2

c满足(ac)(bc)0，则【例3】（2008•浙江卷）已知a、b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量

c的最大值是（ ） A．1



B．2







C．2



D．

2

2



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22

PAPB

【例4】（2012•江西卷）在Rt△ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则等2

PC

于（ ） A．2



B．4



C． 5

D． 10



b、c满足a【例5】已知向量a、

3，b2，c且(ac)(bc)0，则ab的取值范围是 _ . 1，



|a||b|2，【例6】（2019•浙江模拟）设a,b,c为平面向量，若(2ca)(cb)0，则cb的最大值为（ ） A．2

B．

9

4

C．

17 4

D．5



x2y25

【例7】（2014•广东卷）已知椭圆C:221(ab0)的右焦点为(5,0)，离心率为．

3ab

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若动点P(x0，y0)为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程．





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达标训练

1.（2018•漳州模拟）已知|a||b|2，|c|1，(ac)(bc)0，则|ab|的取值范围是（ ） A．[61，61] C．[71,71]



B．[D．[

7171

,] 226161

,] 22

37

，|c|的最大值235

2



2.（2018•龙岩期中）已知向量a,b,c满足：|a|1,(ac)(bc),a(a2b)，若|b|和最小值分别为m，n，则mn等于（ ） A．

3

2

B．

5 2

C．37 D．

3.（2018•唐山二模）在△ABC中，C90，|AB|6，点P满足|CP|2，则PAPB的最大值为（ ） A．9

B．16

C．18

D．25

4.（2018•运城市四模）已知a，b为单位向量，且ab，向量c满足|cab|2，则|c|的范围为（ ） A．[1，12] C．[2,22]



B．[22，22] D．[322，322]



2

5.（2018•三门峡期末）已知向量a,b,c，满足|a|2，|b|ab3，若(c2a)(cb)0，则|bc|的

3

最小值是（ ） A．23

B．23

C．1

D．2

6.（2018•浙江三模）已知|a||b|1，向量c满足|c(ab)||ab|，则|c|的最大值为 ． 7.（2018•赣州期中）已知|a||b|1，且ab，若|abm|1成立，则|m|的取值范围是 ． 8.（2018•黔东二模）在平面上，OB1OB2，|MB1|MB2|2，OPOB1OB2．若|MP|1，则|OM|的取值范围是 ．

9.（2018•宝山区二模）如图，已知O为矩形PP12P3P4内的一点，满足OP14，OP2OP4的值为 ． 35，PP137，则OP

10.（2018•黔东南州二模）在平面上，OB1OB2，且|OB1|2，|OB2|1，OPOB1OB2．若|MB1||MB2|，则|PM|的取值范围是 ．

11.（2018•天津南开区一模）在四边形ABCD中，ABACAD2，ABAD，则CBCD的最小值为 ．

|BC|2，12.（2019•播州月考）已知向量|AB|1，若ABBC0，ADDC0，则|BD|的最大值为（ ）

A．

2

5 5

B．2 C．5 D．25

13.（2019•浙江期中）已知a，b是两个单位向量，与a，b共面的向量c满足c2(ab)cab0，则|c|的最大值为（ ）

A．22



B．2 C．2

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D．1


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14.（2019•衢州期中）设平面向量a,b,c满足|a|1，|b|2，ab1，(ac)(bc)0，则|2ac|的最大值为（ ）

3731

B． C．3 D．2

22

15.（2016•重庆月考）已知向量a,b,c，满足|a|4,|b|2，ab0，(ca)(cb)0．

A．

（1）求|a2b|的值； （2）求|c|的最大值．

x2y22

16.（2016•武汉模拟）已知椭圆C:221的短轴长为2，离心率．

2ab

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）T1，T2为椭圆上不同两点，过T1，T2作椭圆切线交于点P，若T1PT2P，求点P的轨迹E的方程；

（3）若PT1交E于Q1，PT2交E与Q2，求△PQ1Q2面积的最大值．





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