函数周期性结论总结

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函数周期性结论总结

① f(x+a)=-f(x) T=2a ② f(x+a)=±

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T=2a f(x)

③ f(x+a)=f(x+b) T=|a-b|

证明： 令x=x-b 得 f(x-b+a)=f(x-b+b) f(x-b+a)=f(x) 根据公式f(x)=f(x+T)=f(x+nT) 得 T=-b+a 即a-b

④f(x)为偶函数，且关于直线x=a对称，T=2a 证明：f(x+2a)=f(-x)=f(x)

证明：因为 偶函数,所以 f(-x)=f(x) 因为 关于x=a对称

所以 f(a+x)=f(a-x) (对称性质）设 x=x+a 所以 f(x+2a)=f(x) 所以 周期T=2a) ⑤f(x)为奇函数，且关于直线x=a对称，T=4a

证明：f(x+2a)=f(-x)=-f(x) 根据①可知T=2·2a=4a

证明：由于图像关于直线x=a对称、所以f(a+x)=f(a-x) 令x=x+a得：f(x+2a)=f(-x) 又f(x)= - f(-x)故f(x)= - f(x+2a) 代换x=x+2a得：

f(x+2a)= - f(x+4a)即得f(x)=f(x+4a)于是函数f(x)的周期为4a ⑥f(x)=f(x+a)+f(x-a) 有三层函数，用递推的方法来证明。 f(x+a)=f(x+2a)+f(x)

f(x+2a)=-f(x-a) 换元：令x-a=t 那么x=a+t f(t+3a)=-f(t) 根据①可知T=6a ⑦f(x)关于直线x=a,直线x=b对称，T=2|a-b|

证明：f(a+x)=f(a-x)

f(b+x)=f(b-x) f(2b-x)=f(x)

假设a＞b (当然假设a＜b也可以同理证明出) T=2(a-b)

现在只需证明f(x+2a-2b)=f(x)即可

⑧f(x)的图像关于(a,0) (b,0)对称，T=2a-2b(a＞b)

f(x+2a-2b) =f[a+(x+a-2b)]

关于直线x=a对称

=f[a-(x+a-2b)] 关于直线 x=b 对称 =f(2b-x) =f(x)

证明：根据奇函数对称中心可知：f(a+x)=-f(a-x)

f(b+x)=-f(b-x) f(2b-x)=-f(x) f(x+2a-2b) =f[a+(x+a-2b)] =-f[a-(x+a-2b)] =-f(2b-x) =f(x)




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