“图形的认识”核心知识

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“图形的认识”核心知识

“图形的认识”核心知识的深层理解



在小学阶段，“图形与几何”的学习内容主要是欧几里得几何，欧几里得几何学是现实世界最简单、最粗略、最直观的近似刻画，它把空间分解为最基本的元素——点、线、面，用公理来规定点、线、面、体之间的关系，再用形式逻辑规则来推证一系列的性质。欧氏几何学所使用的工具很简单，所以只研究涉及直线、平面、直方体等“平直性”的变化。研究对象是抽象出来的那些平直的概念，比如：点、线、面、体、角。在教学过程中应当注意的是，这些概念涉及的线都是直的，涉及的面都是平的。

一、“图形的认识”内容结构

关于图形的认识，小学阶段主要是欧式几何空间中的点、线、面、体、角，描述平面图形与立体图形的特征与性质。 小学数学中“图形的认识”只要涉及平面图形和立体图形，具体包括： 点；

线：直线、射线、线段； 角：直角、锐角、钝角、平角；

平面图形：三角形、四边形（长方形、正方形、平行四边形、梯形）、圆； 立体图形：长方体、正方体、圆柱、圆锥、球。 二、“图形的认识”深层理解

2011年版《数学课程标准》在数学课程的总体目标中明确提出四基的观念，具体包括基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。那么，在学习“图形的认识”的过程中，除了要把握图形的特征与性质以外，在基本思想与基本活动经验方面，有怎样的教育功能和价值？是需要教师深层次认识和理解的。从数学的视角来看，教学图形的认识，其核心要把握5个方面：图形的抽象、图形的分类、图形的定义、图形的性质、图形的转化。

（一）图形的抽象

图形是人类通过对客观物体的长期观察逐渐抽象出来的。抽象的核心是把物体的外部形象用线条描绘在二维平面上。这种抽象不仅舍去了物体的颜色、构成材料等物体的本质要素，还忽略了所占空间。例如：点是位置的抽象，在几何中用“点”来标记一个物体的位置（生活中的楼房、公园；地图上的城市；天空中的天体，不管多大的物体都可以根据实际描述的需要用点来表示）；线是路径的抽象，我们把“从一个地方到另一个地方”抽象为线段、折线段或曲线段。

生活中长短、宽窄和高矮不同的物体，都占据一定的空间，这些反映到我们的脑子里就有了形状的概念，就抽象成了几何图形。“长方形”不是某个具体的物体，而是抽象了的图形，是一种理念上的存在。在欧氏几何里，点只有位置，不分大小；线段只有长度，不分宽窄；面只有长度和宽度，不分薄厚。

（二）图形的分类

分类是一种十分重要的科学思想方法。在分类的过程中，既要关注图形的共性也要关注图形的差异，而共性和差异都是抽象的结果，是抽象的具体体现。所以图形分类能够培养学生的抽象能力。

在认识图形的过程中，不仅仅要让学生学会区别图形，知道哪一种图形叫什么名字，更重要的是让学生通过认识图形学会分类。只有让学生感悟到了图形的分类，教学才具有一般意义。通过分类的过程要让学生感悟到：如何合理地制订分类标准；如何遵循标准进行合理的分类。因为在日常生活和生产实践中，制定标准和遵循标准都是不可或缺的，因此，有效地实施这样的教育过程，特别是让学生在分类过程中感悟标准是如何制订的，对培养学生的数学素养是非常重要的。

经验告诉我们，对于差异大的东西分类比较容易，能够很容易看出分类的标准。对于差异小的东西分类则比较困难，标准不容易发现。比如，要分辨三角形和四边形就比较容易，因为只需分辨图形（多边形）边数的多少即可。因此可以根据边数制订分类标准：边数不同的图形（多边形）为不同的图形。而分辨长方形和正方形就比较困难，因为长方形和正方形存在包含关系，或者说正方形是长方形的特例。此外，对锐角三角形和钝角三角形也比较难分辨，很难直接找出不同的地方。事实上，在分辨锐角三角形和钝角三角形的过程中有一个重要的分水岭，那就是直角三角形。在分类的过程中，制定标准的核心就是找到分水岭。因此在教学过程中，可以给出下面的图，其中的直角三角形就是分水岭，在借助图分辨锐角三角形和钝角三角形的过程中，让学生感悟分水岭的作用，为学生学会自己建立分类标准提供几何直观。



（三）图形的定义

在小学阶段的数学教学中，关于点、线、面这些数学概念都采取不定义的方式，用类似的实物进行描述。让学生能够体会、能够识别、不会混淆、能够运用就可以了。比如，关于线段的概念，只能先画出一条线段，然后定义说：称这样的图形为线段。

在所有描述性定义的教学中，阐述图形的性质是格外重要的。比如：只有一组对边平行的四边形叫做梯形，这实际上是借助于梯形的特点来定义的。再如：线段有两个端点；线段的一边无限延长则称为射线，射线有一个端点；线段的两边无限延长则称为直线，直线没有端点等。显然，这里所说的线段是直线段，在教学过程中不能过分强调“直”，但又应当让学生感悟“直”，因为通过这样的感悟可以得到直线段的一个根本性质：两点间的所有连线中直线段最短，这就为未来学习“距离”构建了直观。

（四）图形的性质（特征）

图形的性质是对图形中各种元素之间关系的认识。在小学阶段，不仅要引导学生能够“辨认”、“认识”、“了解”、“知道”一些图形及其“特征”，更要在教学中渗透研究图形的方法，不断提高学生研究几何图形性质的能力，发展创新意识和创新能力。在小学阶段，图形的性质较为重点的内容涉及：

1.三角形

三角形的特征主要体现在两个维度，分别是边的维度和角的维度。

边的特点主要体现在两个方面：①围成三角形的三条边的长度关系：“任意两边之和大于第三边。”②按照边是否相等可以分为：等腰三角形、等边三角形和不等边三角形。 角的特点也体现在两个方面：①三角形的内角和是180度。②按照三角形内角的大小可以分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。

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2.四边形

四边形的共同特点是都有四条边、四个角，内角和是360度。对于四边形的性质重点研究的也是边和角的特征：如下表：



从图中可以看出，边的特点主要集中在对边是否平行、对边是否相等方面，角的特征主要体现在对角是否相等、四个角是否相等方面，如下表：



此外，基于生活中应用的角度来考虑，三角形还具有稳定性，四边形具有不稳定性。 3.圆

圆是到定点的距离等于定长的点的集合。所谓定点，就是指圆心；所谓定长，就是指半径，因此从圆心到圆上处处距离相等；也就是在同一圆内，所有的半径都相等，所有的直径也都相等。

圆是轴对称图形，有无数条对称轴。 4.立体图形

立体图形总体上可以分成两大类，一类是柱体，包括圆柱、长方体和正方体；一类是椎体，主要是圆锥。学生对于立体图形的特征更多的是从立体图形的面、棱、顶点等方面来把握的。

（1）长方体：有6个面，相对的两个面完全相同，有12条棱、8个顶点。 （2）正方体：有6个面，都是正方形，有12条棱，8个顶点。

（3）圆柱：有三个面，一个侧面和两个圆形的底面，侧面是一个曲面，展开以后是长方形或平行四边形。两个圆形的底面完全相同。 （4）圆锥：有一个顶点，二个面：一个曲面和一个圆形的底面，曲面展开以后是扇形。 5.图形的转化

“能由实物的形状想象出几何图形，由几何图形想象出实物的形状，进行几何体与其他视图、展开图之间的转化”是发展空间观念的重要表现。为了促进学生对空间的理解与把握、发展空间观念，《标准》安排了视图与投影、展开与折叠等内容，为学生提供进行二维图形与三维图形之间转换的素材。如立体图形的展开与平面图形的折叠；从正面、侧面、上面等角度观察立体图形得到平面图形与根据观察到的图形还原立体图形；长方形绕长或宽旋转一周形成圆柱与圆柱“切割”得到长方形；直角三角形绕直角边旋转一周形成圆锥与圆锥“切割”得到三角形。[2]在教学过程中，教师要设计丰富的活动，引导学生在转化过程中不断地想象、操作、比较，把握图形的特征，发展学生的空间观念。





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