2018年高考全国3卷理科数学试题及答案解析

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2017年普通高等学校招生全国统一考试(全国)

理科数学

(试题及答案解析)

一、选择题:(本题共12小题,每小题5分,共60分) 1.已知集合A(x,y)x2y21B(x,y)yx,则AA3 【答案】B





B2







C1





B中元素的个数为()

D0

【解析】A表示圆x2y21上所有点的集合,B表示直线yx上所有点的集合,

AB表示两直线与圆的交点,由图可知交点的个数为2,即AB元素的个数2,故选B.













2.设复数z满足(1i)z2i,则z() 1

A

2

【答案】C

B

2 2



C2

D2

【解析】由题,z



2i1i2i2i2i1,则z12122,故选C. 1i1i1i2

3.某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了20141月至201612月期间月接待游客量(单位:万人)的数据,绘制了下面的折线图.



根据该折线图,下列结论错误的是 A.月接待游客量逐月增加 B.年接待游客量逐年增加

C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月份

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D.各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月,波动性更小,变化比较平稳 【答案】A

【解析】由题图可知,20148月到9月的月接待游客量在减少,则A选项错误,故选A.



4(xy)(2xy)5的展开式中x3y3的系数为()

A B C40 D80 【答案】C

【解析】由二项式定理可得,原式展开中含x3y3的项为

23333xC52xyyC352xy40xy,则xy的系数为40,故选C.

2

3

3

2



x2y25

5.已知双曲线C221a0b0)的一条渐近线方程为yx,且与椭圆

ab2

x2y2

1公共焦点.则C的方程为() 123

x2y2x2y2x2y2x2y2

A1 B1 C1 D1

810455443

【答案】B

【解析】∵双曲线的一条渐近线方程为y

5b5

x,则

a22





x2y2

又∵椭圆1与双曲线有公共焦点,易知c3,则a2b2c29

123

x2y2

①②解得a2,b5,则双曲线C的方程为1,故选B.

45

π

6.设函数f(x)cos(x),则下列结论错误的是()

3

Af(x)的一个周期为2π Cf(x)的一个零点为x【答案】D

π

6



Byf(x)的图像关于直线xπ

Df(x)(,π)单调递减

2

8π

对称 3

ππ

【解析】函数fxcosx的图象可由ycosx向左平移个单位得到,

33

π

如图可知,fx,π上先递减后递增,D选项错误,故选D.

2y





-O6



x

7.执行右图的程序框图,为使输出S的值小于91,则输入的正整数N的最小值为() A5 B4 C3

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D2 【答案】D

【解析】程序运行过程如下表所示:

t S M

初始状态 0 100 1 1次循环结束 100 2 10

2次循环结束 90 1 3

此时S9091首次满足条件,程序需在t3时跳出循环,即N2为满足条件的最小值,故选D.



8.已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为()

3πππ

Aπ B C D

44

【答案】B

13

【解析】由题可知球心在圆柱体中心,圆柱体上下底面圆半径r1

22

3π

则圆柱体体积Vπr2h,故选B.

4

2

2





9.等差数列an的首项为1,公差不为0.若a2a3a6成等比数列,则an6项的和为()

A24 B3 C3 D8 【答案】A

【解析】∵an为等差数列,且a2,a3,a6成等比数列,设公差为d.



2a3a2a6,即a12da1da15d

2

又∵a11,代入上式可得d22d0 又∵d0,则d2

6565

d16224,故选A. S66a122

x2y2

10.已知椭圆C:221ab0)的左、右顶点分别为A1A2,且以线段A1A2为直

ab

径的圆与直线bxay2ab0相切,则C的离心率为()

1632

B C D

333

【答案】A

【解析】∵以A1A2为直径为圆与直线bxay2ab0相切,∴圆心到直线距离d等于半径,

A

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d

2ab

2

2

ab

又∵a0,b0,则上式可化简为a23b2

c22222222

bac,可得a3ac,即2

a3

c6e,故选A

a3

a





11.已知函数f(x)x22xa(ex1ex1)有唯一零点,则a()

111

A B C

23

【答案】C

【解析】由条件,f(x)x22xa(ex1ex1),得:

D1

f(2x)(2x)22(2x)a(e2x1e(2x)1)

x24x442xa(e1xex1)



x22xa(ex1ex1)

f(2x)f(x),即x1f(x)的对称轴, 由题意,f(x)有唯一零点, f(x)的零点只能为x1 f(1)1221a(e11e11)0

1

解得a

2



12.在矩形ABCD中,AB1AD2,动点P在以

CBDAPABAD,则的最大值为() A3 B22 C5 D2 【答案】A

【解析】由题意,画出右图.

BDC切于点E,连接CE A为原点,ADx轴正半轴, ABy轴正半轴建立直角坐标系, C点坐标为(2,1) |CD|1|BC|2

BD12225 BDC于点E CEBD

CERtBCD中斜边BD上的高.

1

2|BC||CD|

2S22

|EC|BCD25

|BD||BD|55

2

5 C的半径为5

PC上.

yB

Pg

C

E

A(O)

D

x



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P点的轨迹方程为

P点坐标(x0,y0),可以设出P点坐标满足的参数方程如下: 2

x25cos05

y125sin05

AP(x0,y0)AB(0,1)AD(2,0)

(x2)2(y1)2

45

APABAD(0,1)(2,0)(2,) 215

5sin x01cosy01525

两式相加得:



1

255sin1cos55

2525

)()2sin()55

2sin()3 2(

(其中sin当且仅当

525

cos) 55

π

2kπkZ时,取得最大值3 2

二、填空题:(本题共4小题,每小题5分,共20分)

xy0,

13.若xy满足约束条件xy20,z3x4y的最小值为________

y0,

【答案】1

【解析】由题,画出可行域如图:

3z

x纵截距越大,z值越小. 44

由图可知:zA1,1处取最小值,故zmin31411

目标函数为z3x4y,则直线y



xy20

y

A(1,1)

B(2,0)

xy0

x



14.设等比数列an满足a1a21a1a33,则a4________ 【答案】8

【解析】an为等比数列,设公比为q

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a1a21a1a1q1,即 2

aa3aaq31311显然q1a10



1q3,即q2,代入式可得a11

a4a1q3128

3



x1,x0,1f(x)15.设函数则满足f(x)f(x)1x的取值范围是________ x

22,x0,

1

【答案】,

4

x1,x011

【解析】fxxfxfx1,即fx1fx

222 ,x0

1

由图象变换可画出yfxy1fx的图象如下:

2



y

1

yf(x)

2

11(,)44

12



12

x

y1f(x)

11

由图可知,满足fx1fx的解为,.

24



16ab为空间中两条互相垂直的直线,等腰直角三角形ABC

的直角边AC所在直线与

ab都垂直,斜边AB以直线AC为旋转轴旋转,有下列结论:

当直线ABa60角时,ABb30角; 当直线ABa60角时,ABb60角; 直线ABa所成角的最小值为45 直线ABa所成角的最大值为60

其中正确的是________(填写所有正确结论的编号) 【答案】②③

【解析】由题意知,abAC三条直线两两相互垂直,画出图形如图.

不妨设图中所示正方体边长为1 |AC|1AB2

斜边AB以直线AC为旋转轴旋转,则A点保持不变, B点的运动轨迹是以C为圆心,1为半径的圆.

C为坐标原点,以CDx轴正方向,CBy轴正方向, CAz轴正方向建立空间直角坐标系. D(1,0,0)A(0,0,1)

直线a的方向单位向量a(0,1,0)|a|1

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B点起始坐标为(0,1,0)

直线b的方向单位向量b(1,0,0)|b|1 B点在运动过程中的坐标B(cos,sin,0) 其中BCCD的夹角,[0,2π)

那么AB'运动过程中的向量AB(cos,sin,1)|AB|2

π

ABa所成夹角为[0,]

2

(cos,sin,1)(0,1,0)22

|sin|[0,] cos

22aAB

ππ

[,],所以正确,错误.

42

π

ABb所成夹角为[0,]

2

ABb

cos

bAB



(cos,sin,1)(1,0,0).

bAB2

|cos|2

π 3

12

sin2cos2cos2

322

cos2sin21

ABa夹角为60时,即

2 221

cos|cos|

22π

[0,]

2π

=,此时ABb夹角为60

3

正确,错误.

|cos|



三、解答题:(共70分.第17-20题为必考题,每个试题考生都必须作答.第2223题为选

考题,考生根据要求作答) (一)必考题:共60分. 17.(12分)

ABC的内角ABC的对边分别为abc已知sinA3cosA0a27b2

1)求c

2)设DBC边上一点,且ADAC,求ABD的面积.

π

【解析】(1)由sinA3cosA02sinA0

3

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π

kπkZ,又A0,π 3π2πAπ,得A.

33

A

1

由余弦定理a2b2c22bccosA.又∵a27,b2,cosA代入并整理

2

2

c125,故c4.

2)∵AC2,BC27,AB4 a2b2c227

由余弦定理cosC.

2ab7

ACAD,即ACD为直角三角形, ACCDcosC,得CD7.

由勾股定理ADA

CDAC3.

22

SABD

2π2πππ,则DAB 33261π

ADABsin3. 26



18.(12分)某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每

6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500

25,需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量瓶;如果最高气温位于区间20

200瓶,为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:

15 1520 2025 2530 3035 3540 最高气温 10天数 2 16 36 25 7 4

以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率. 1)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位:瓶)的分布列;

2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元).当六月份这种酸奶一天的进货量n(单位:瓶)为多少时,Y数学期望达到最大值? 【解析】易知需求量x可取200,300,500

2161

PX200

3035362

PX300

303525742

PX500.

3035

则分布列为:

X P

200 300 500





122

555

⑵①n200时:Yn642n,此时Ymax400,当n200时取到.

41

2002n2002200n300时:Y2n 5588002n6n800n 555

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1912ABCDABCACD

形.?ABD?CBDAB=BD

D

1)证明:平面ACD^平面ABC

2)过AC的平面交BD于点E,若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分.求二E

C面角D-AE-C的余弦值.



B



AD【解析】AC中点为O,连接BODO

ABC为等边三角形 BOAC

E

ABBC CABBCO

ABDCBD. BDBD

ABDDBC

ADCD,ACD为等腰直角三角形,ADC A为直角又O为底边AC中点 DOAC

ABa,则ABACBCBDa 23aOBa 22

222

ODOBBD

此时Ymax520,当n300时取到. 300n500时,

122

Y2002n20023002n300255n2 5

32002n



5

此时Y520.

n500时,易知Y一定小于的情况.

综上所述:当n300时,Y取到最大值为520.

B

易得:OD

由勾股定理的逆定理可得DOB



2



ODOB ODACODOB

ACOBOOD平面ABC AC平面ABCOB平面ABC

又∵OD平面ADC

由面面垂直的判定定理可得平面ADC平面ABC 由题意可知VDACEVBACE B,D到平面ACE的距离相等 EBD中点

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z



D

CO

E

B

A

x

y


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O为原点,ACaOAx轴正方向,OBy轴正方向,ODz轴正方向,建立空间直角坐标系,

33aaa

0,a,0E0,O0,0,0A,0,0D0,0,B24a,4 22

a3aaaa,a,AD,0,OA,0,0易得:AE 244222设平面AED的法向量为n1,平面AEC的法向量为n2 AEn10

,解得n13,1,3

ADn01AEn20

,解得n20,1,3

OAn20

若二面角DAEC,易知为锐角,





cos

n1n2n1n2



7 7



20.(12分)已知抛物线C:y2=2x,过点(20)的直线lCAB两点,圆M是以

线段AB为直径的圆.

1)证明:坐标原点O在圆M上;

2)设圆M过点P4-2),求直线l与圆M的方程.

【解析】显然,当直线斜率为0时,直线与抛物线交于一点,不符合题意.

l:xmy2A(x1,y1)B(x2,y2)

y22x

联立:y22my40

xmy2

4m216恒大于0y1y22my1y24 uuruuur

OAOBx1x2y1y2

(my12)(my22)

(m21)y1y22m(y1y2)4

4(m21)2m(2m)40 uuruuur

OAOB,即O在圆M上.

uuuruur

若圆M过点P,则APBP0 (x14)(x24)(y12)(y22)0 (my12)(my22)(y12)(y22)0

(m21)y1y2(2m2)(y1y2)80

1

化简得2m2m10解得m1

2

1

m时,l:2xy40圆心为Q(x0,y0)

2yy2119y01x0y02

222491

半径r|OQ|

42

2

2

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9185

则圆M:(x)2(y)2

4216

m1时,l:xy20圆心为Q(x0,y0)

yy2

y011x0y023

2

半径r|OQ|3212

则圆M:(x3)2(y1)210



21.(12分)已知函数f(x)x1alnx

1)若f(x)0,求a的值;

2)设m为整数,且对于任意正整数n(1+

11)(1+2)?(122

1

)<m,求m的最n2

小值.

【解析】 f(x)x1alnxx0

axa

f(x)1,且f(1)0

xx

a0时,fx0fx0所以0x1时,fx0上单调增,不满足题意; a0时,

0xa时,f(x)0,则f(x)(0,a)上单调递减; xa时,f(x)0,则f(x)(a,)上单调递增.

a1f(x)(a,1)上单调递增∴当x(a,1)f(x)f(1)0矛盾 a1f(x)(1,a)上单调递减∴当x(1,a)f(x)f(1)0矛盾

a1f(x)(0,1)上单调递减,(1,)上单调递增∴f(x)f(1)0足题意

综上所述a1

a1f(x)x1lnx0lnxx1

则有ln(x1)x当且仅当x0时等号成立

11

ln(1k)kkN*

22

1111111

一方面:ln(1)ln(12)...ln(1n)2...n1n1

2222222

111

(1)(12)...(1n)e

222

111111135

另一方面:(1)(12)...(1n)(1)(12)(13)2

22222264111

n3时,(1)(12)...(1n)(2,e)

222111

mN*(1)(12)...(1n)m

222

m的最小值为3



22[选修4-4:坐标系与参数方程]10分)

xt,

l在直角坐标系xOy中,直线的参数方程为t为参数),直线l的参数方程

ykt,

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xm,m为参数),设ll的交点为P,当k变化时,P的轨迹为曲线C m

y,k

1)写出C的普通方程:

2以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,l:co(s

nis)

MlC的交点,求M的极径.

【解析】将参数方程转化为一般方程

l1:ykx2 ……

1

l2:yx2 ……

k

k可得:x2y24

P的轨迹方程为x2y24 将参数方程转化为一般方程

l3:xy20 ……

xy20

联立曲线Cl32 2

xy4

32

x2解得

y22xcos解得5 ysinM的极半径是5



23[选修4-5:不等式选讲]10分)

已知函数f(x)|x||x| 1)求不等式f(x)的解集;

2)若不等式f(x)xxm的解集非空,求m的取值范围.

3,x1

【解析】fx|x1||x2|可等价为fx2x1,1x2.fx1可得:

3,x2

x1时显然不满足题意;

1x2时,2x11,解得x1

x2时,fx31恒成立.综上,fx1的解集为x|x1. 不等式fxx2xm等价为fxx2xm

gxfxx2x,则gxm解集非空只需要gxmaxm.

x2x3,x1



gxx23x1,1x2.

x2x3,x2

x1时,gxmaxg13115

35331x2时, gxg31max

2422

2

x2时,gxmaxg22231.

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2


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综上,gxmax

55

,故m. 44

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