函数周期公式

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主要知识：

1．周期函数：对于f(x)定义域内的每一个x，都存在非零常数T，使得f(xT)f(x)恒成立，则称函数f(x)具有周期性，T叫做f(x)的一个周期，则kT（kZ,k0）也是f(x)的周期，所有周期中的最小正数叫f(x)的最小正周期．

2．几种特殊的抽象函数：具有周期性的抽象函数： 函数yfx满足对定义域内任一实数x（其中a为常数）， (1)fxfxa，则yfx是以Ta为周期的周期函数； (2)fxafx，则fx是以T2a为周期的周期函数； (3)fxa

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，则fx是以T2a为周期的周期函数； fx

(4)fxafxb，则fx是以Tab为周期的周期函数；

以上（1）-（4）比较常见，其余几种题目中出现频率不如前四种高，并且经常以数形结合的方式求解。

(5)函数yf(x)满足f(ax)f(ax)（a0），若f(x)为奇函数，则其周期为T4a，若f(x)为偶函数，则其周期为T2a．

(6)函数yf(x)xR的图象关于直线xa和xbab都对称，则函数f(x)是以2ba为周期的周期函数；

(7)函数yf(x)xR的图象关于两点Aa,0、Bb,0ab都对称，则函数f(x)是以2ba为周期的周期函数；

(8)函数yf(x)xR的图象关于Aa,0和直线xbab都对称，则函数f(x)是以4ba为周期的周期函数；

（9）有些题目中可能用到构造，类似于常数列。

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（二）主要方法：

1．判断一个函数是否是周期函数要抓住两点： 一是对定义域中任意的x恒有f(xT)f(x)； 二是能找到适合这一等式的非零常数T，

2．解决周期函数问题时，要注意灵活运用以上结论，同时要重视数形结合思想方法的运用，还要注意根据所要解决的问题的特征来进行赋值．

证明举例：若函数f（x）有一条对称轴x=a和一个对称中心（b，0）（a）,则4（b-a）是f（x）的周期。证明：由已知f(x)f(2ax),f(x)f(2bx).

f(x)f(2ax)f[2b(2ax)]f[2(ba)x]f[2a2(ba)x]f[2(2ab)x]

f[2b2(2ab)x]f[4(ba)x],周期为4(ba).

举例:y=sinx,等.





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