函数周期公式

2023-02-08 14:06:19   文档大全网     [ 字体: ] [ 阅读: ]

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主要知识:

1周期函数:对于f(x)定义域内的每一个x都存在非零常数T使得f(xT)f(x)恒成立,则称函数f(x)具有周期性,T叫做f(x)的一个周期,kTkZ,k0也是f(x)的周期,所有周期中的最小正数叫f(x)的最小正周期.

2.几种特殊的抽象函数:具有周期性的抽象函数: 函数yfx满足对定义域内任一实数x(其中a为常数) (1)fxfxa,则yfx是以Ta为周期的周期函数; (2)fxafx,则fx是以T2a为周期的周期函数; (3)fxa

1

,则fx是以T2a为周期的周期函数; fx

(4)fxafxb,则fx是以Tab为周期的周期函数;

以上(1-4)比较常见,其余几种题目中出现频率不如前四种高,并且经常以数形结合的方式求解。

(5)函数yf(x)满足f(ax)f(ax)a0,若f(x)为奇函数,则其周期为T4a,若f(x)为偶函数,则其周期为T2a

(6)函数yf(x)xR的图象关于直线xaxbab都对称,则函数f(x)是以2ba为周期的周期函数;

(7)函数yf(x)xR的图象关于两点Aa,0Bb,0ab都对称,则函数f(x)是以2ba为周期的周期函数;

(8)函数yf(x)xR的图象关于Aa,0和直线xbab都对称,则函数f(x)是以4ba为周期的周期函数;

9)有些题目中可能用到构造,类似于常数列。

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(二)主要方法:

1.判断一个函数是否是周期函数要抓住两点: 一是对定义域中任意的x恒有f(xT)f(x) 二是能找到适合这一等式的非零常数T

2.解决周期函数问题时,要注意灵活运用以上结论,同时要重视数形结合思想方法的运用,还要注意根据所要解决的问题的特征来进行赋值.

证明举例:若函数fx有一条对称轴x=a和一个对称中心(b0a,4b-a)是fx的周期。证明:由已知f(x)f(2ax),f(x)f(2bx).

f(x)f(2ax)f[2b(2ax)]f[2(ba)x]f[2a2(ba)x]f[2(2ab)x]

f[2b2(2ab)x]f[4(ba)x],周期为4(ba).

举例:y=sinx,.





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