第34讲 几何变换-图形的折叠(教师版)

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第34讲 几何变换－图形的折叠



中考要求：

考试内容

基本要求 了解图形的轴对称，理

图解对应点所连的线段形

轴对称 被对称轴垂直平分的变

性质；了解物体的镜面换

对称．



考试要求

略高要求

会按要求作出简单平面图形经过一次或两次轴对称后的图形；掌握简单图形之间的轴对称关系，并能指出对称轴；掌握基本图形的轴对称性及其相关性质．

较高要求 运用轴对称进行图案设计；与其他变换综合运用解决有关问题．

知识点睛：

一、关于几何变换的一些认识：

在寻求几何问题的解题途径时，几何变换法究竟能起什么样的作用呢？归纳起来，认为至少有以下四个方面： 第一，从理论上讲，全等形与相似形是平面几何中研究的两个最基本、最重要的问题，所以几何变换的思想方法自然是解决其有关问题的重要手段．从形式上看，它是通过对问题的图形的某些部分施行变位、变形，以便化繁为简、化难为易，从而获得一种解题途径．因此，掌握几何变换法，可以使我们用较高的观点来研究几何问题的解法，看清问题的实质．

第二，在寻求几何问题的解题途径时，最困难的一步是添辅助线．但若运用几何变换的观点来进行分析，并注意到问题中图形的某些特征，则就不需要太多的技能技巧，也能迅速地想到应对图形的哪些部分实行变位、变形，从而添出必要的辅助线，是解题的途径显现出来．因此，掌握几何变换法，可以使我们在添辅助线时减少盲目性，增强目的性，进而掌握一些添辅助线的规律．

第三，有些几何问题，由于涉及的元素分散或交错，因而难以发现题设和结论间的关系．但若能适当地运用几何变换法，将图形的某些部分变换到适当的新位置，则常可使分散的元素集中起来，或者把交错的元素适当分散，从而构造出我们所熟悉的基本图形，使问题变得容易解决．所以，掌握几何变换法，可以使我们领会一些处理较困难的几何问题的基本方法与技能．

第四，比较线段与折线或者折线与折线间的长短是较麻烦的．但若能适当地采用几何变换法，将折线的一段或若干段逐次进行变换，则常可将折线化为直线段或另一便于比较的折线，从而发现解题的途径．因此，掌握几何变换法，可以使我们学会一些处理几何问题的特殊的技能与技巧． 二、轴对称的有关概念

1．轴对称图形

如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴．折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．

2．线段的垂直平分线

经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线 3．轴对称变换

由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换． 4．等腰三角形

有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形．相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角．

5．等边三角形

三条边都相等的三角形叫做等边三角形． 三、轴对称的主要性质


1．如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．或者说轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．

2．线段垂直平分钱的性质

线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等． 3．(1)点P(x，y)关于x轴对称的点的坐标为P′(x，－y)． (2)点P(x，y)关于y轴对称的点的坐标为P″(－x，y)． 4．等腰三角形的性质

(1)等腰三角形的两个底角相等(简称“等边对等角”)．

(2)等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．

(3)等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线(顶角平分线、底边上的高)所在直线就是它的对称轴． (4)等腰三角形两腰上的高、中线分别相等，两底角的平分线也相等． (5)等腰三角形一腰上的高与底边的夹角是顶角的一半． (6)等腰三角形顶角的外角平分线平行于这个三角形的底边． 5．等边三角形的性质

(1)等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°． (2)等边三角形是轴对称图形，共有三条对称轴．

(3)等边三角形每边上的中线、高和该边所对内角的平分线互相重合． 四、轴对称的有关判定

1．与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．

2．如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简写成“等角对等边”)． 3．三个角都相等的三角形是等边三角形． 4．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．

重、难点：

根据题目的已知条件特征，快速、正确的添加辅助线是重点和难点．



例题精讲：

板块一：有关折叠的基础问题

1．折叠后求度数

【例1】将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BC、BD为折痕，则∠CBD的度数为( )

A．60° B．75° C．90° D．95°



【解析】C．

【巩固】如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在D′、C′的位置，若∠EFB＝65°，则∠AED′

等于( ) A．50° B．55° C．60° D．65°




【解析】A．

【巩固】(第19届希望杯数学邀请赛初二第2试试题)如图，矩形ABCD的长AD＝9cm，宽AB＝3cm，将它折叠，

使点D与点B重合，那么折叠后DE的长和折痕EF的长分别是( )

A

E

D

A3B

9D

B

F

C

C



D．5cm，4cm

D

A．5cm，10cm B．5cm，3cm

A3B

9-xx

C．6cm，10cm

E

xOF

C

【解析】实质上，四边形EBFD是个菱形，在此基础上，连接对角线，充分利用勾股定理来求解．

记DE＝x，则AE＝9－x，由折叠的对称性可知DE＝BE，即BE＝x． 在Rt△ABE中，AB2＋AE2＝BE2，即32＋(9－x)2 ＝x2，得x＝5．

连接BD交EF于点O，由折叠的特点知BD⊥EF，易知BDAB2AD2310，

BD3

则BO10．

22

10

而BE＝5，故EOBE2BO2，

2从而EF＝2EO＝10． 故选C．

【点评】(1)数形结合是非常重要的数学思想之一，它从“数”和“形”两个不同方面来揭示同一问题．勾股定理正是

应用数形结合思想的一座“桥梁”．各种面积(或体积)公式、比例线段的性质、平面直角坐标系等也是联系数和形的一条条“纽带”．(2)方程思想，是数学中最重要的数学思想．它是在解题中通过已知量和未知量的联系，找出它们的等量关系，以方程的形式表达出来，再根据方程的具体解法求出未知量，以达到解决问题的目的的一种思想．运用方程思想能够揭示事物间的矛盾性和对立统一性，也能展现物质世界的普遍联系，这是人的思想素质的组成部分，是了解和认识世界的法宝．在实际中，方程思想在解决问题中被广泛采用．

【巩固】用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图(1)所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图(2)所示

的正五边形ABCDE，其中∠BAC＝__度．


A B

E

C D

图(1)



图(2)



【解析】36°．

【巩固】(09湖北荆门)如图，RtABC中，ACB90，A50，将其折叠，使点A落在边CB上A处，折

痕为CD，则ADB( ) A．40 B．30 C．20 D．10

BA'

D

C

A



【解析】D．

2．折叠后求面积

【例2】如图，有一矩形纸片ABCD，AB＝10，AD＝6，将纸片折叠，使AD边落在AB边上，折痕为AE，再将

△AED以DE为折痕向右折叠，AE与BC交于点F，则△CEF的面积为( ) A．4 B．6 C．8 D．10



【解析】C．

【巩固】如图，正方形硬纸片ABCD的边长是4，点E、F分别是AB、BC的中点，若沿左图中的虚线剪开，拼

成如下右图的一座“小别墅”，则图中阴影部分的面积是 A．2 B．4 C．8 D．10



【解析】B．

【巩固】如图a，ABCD是一矩形纸片，AB＝6cm，AD＝8cm，E是AD上一点，且AE＝6cm．操作：(1)将AB

向AE折过去，使AB与AE重合，得折痕AF，如图b；(2)将△AFB以BF为折痕向右折过去，得图c．则△GFC的面积是( )


A E D A B D B D

A

G

B

F 图a

C

F 图b





A．1cm

2





C F

C 图c

B．2cm

2

C．3cm

2

D．4cm

2



【解析】B．

【巩固】如图，矩形纸片ABCD，AB3，BC4，沿对角线BD折叠(使ABD和EBD落在同一平面内)，求

ABD和EBD重叠部分的面积．

E

A

M

D

BC



【解析】∵ABCD为矩形∴ADBCBD

∵CBDEBD∴ADBEBD ∴BMDM

∵BEBCAD∴AMEM，AMBM4 ∵ABAM∴AB2AM2BM2

7

∴32AM2(4AM)2AM

8

11775

∴SBMDDMAB(4)3．

22816

3．折叠后求长度

【例3】如图，已知边长为5的等边三角形ABC纸片，点E在AC边上，点F在AB边上，沿着EF折叠，使点

A落在BC边上的点D的位置，且EDBC，则CE的长是( )

A．10315





B．1053

A

E

F B

D

C

C．535



D．20103

【解析】D．

【巩固】如图，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，如果AB8，BC10，求EC的长．


AD

E

B

F

C



【解析】由题意可知，ADAF，DEEF．

∵AB8，BC10，ABBF ∴BFAF2AB2102826 ∴CF4

∵CECF，DEEF

∴DE2CE2CF2

∴(8CE)2CE242CE3

【巩固】(09浙江义乌)如图，在矩形ABCD中，AB3，AD1，点P在线段AB上运动，设APx，现将纸

片折叠，使点D与点P重合，得折痕EF(点E、F为折痕与矩形边的交点)，再将纸片还原． (1)当x0，折痕EF的长为__________；当点E与点A重合时，折痕EF的长为________； (2)求出当x2时四边形DEPF的周长；

温馨提示：用草稿纸折折看，或许对你有所帮助哦！

DE

O

B

A

CF

DO

E

FC

AP

PB



【解析】(1)3，2

(2)当x2时，如图1，连接DE、PF ∵EF为折痕，∴DEPE 令PE为m，则AE2m

在RtADE中，AD2AE2DE2

552

∴12mm2，解得m，此时四边形周长为45．

44

【巩固】(09河北)如图，等边ABC的边长为1cm，D、E分别是AB、AC上的点，将ADE沿直线DE折叠，

点A落在点A处，且点A在ABC外部，则阴影部分图形的周长为________cm．

A

E

DB

A'

C



【解析】3． 4．折叠后得图形

【例4】将一张矩形纸对折再对折(如图)，然后沿着图中的虚线剪下，得到①、②两部分，将①展开后得到的平

面图形是( ) A．矩形 B．三角形 C．梯形 D．菱形








【解析】D．

【巩固】在下列图形中，沿着虚线将长方形剪成两部分，那么由这两部分既能拼成平行四边形又能拼成三角形和

梯形的是( )

A． B． C． D．



【解析】D．

【巩固】小强拿了张正方形的纸如图(1)，沿虚线对折一次如图(2)，再对折一次得图(3)，然后用剪刀沿图(3)中的

虚线(虚线与底边平行)剪去一个角，再打开后的形状应是( )





【解析】D．

【巩固】将一圆形纸片对折后再对折，得到图1，然后沿着图中的虚线剪开，得到两部分，其中一部分展开后的

平面图形是( )



图1

A

B

C

D

图3





【解析】C．

【巩固】如图1所示，把一个正方形三次对折后沿虚线剪下，则所得的图形是( )






【解析】C．

【巩固】如图，把矩形ABCD对折，折痕为MN(图甲)，再把B点叠在折痕MN上的Bn处．得到RtABnE(图

乙)，再延长EBn交AD于F，所得到的EAF是( )

A．等腰三角形 B．等边三角形 C．等腰直角三角形



D．直角三角形

【解析】B．

【巩固】如图，已知BC为等腰三角形纸片ABC的底边，AD⊥BC，AD＝BC．将此三角形纸片沿AD剪开，得

到两个三角形，若把这两个三角形拼成一个平面四边形，则能拼出互不全等的四边形的个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．4





【解析】D．

5．折叠后得结论

【例5】亲爱的同学们，在我们的生活中处处有数学的身影．请看图，折叠一张三角形纸片，把三角形的三个角

拼在一起，就得到一个著名的几何定理，请你写出这一定理的结论：“三角形的三个内角和等于_______°．”





【解析】180．

【巩固】如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，则A与12之间有一种数量

关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是( ) A．A12 B．2A12 C．3A212 D．3A2(12)


B

12

C

D

AE



【解析】B．

【巩固】如图，一张矩形报纸ABCD的长AB＝acm，宽BC＝bcm，E、F分别是AB、CD的中点，将这张报纸沿

着直线EF对折后，矩形AEFD的长与宽之比等于矩形ABCD的长与宽之比，则a∶b等于( )．

A．2:1





B．1:2





C．3:1





D．1:3



【解析】A． 【巩固】(09福建省莆田市)如图，把矩形ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B处，点A落在点A处．若

AEa、ABb、BFc，请写出a、b、c之问的一个等量关系_________．

A'

D

B'

E

A

C

2

2

2

F

B



【解析】cab． 6．折叠和剪切的应用

【例6】将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的点M重合，折痕交AD于E，交BC于F，边AB折叠后

与BC边交于点G(如图)．

(1)如果M为CD边的中点，求证：DE∶DM∶EM＝3∶4∶5；

(2)如果M为CD边上的任意一点，设AB＝2a，问△CMG的周长是否与点M的位置有关？若有关，请把△CMG的周长用含DM的长x的代数式表示；若无关，请说明理由．

D

M

C

E

GFB

A

315

【解析】(1)先求出DE＝AD，DMAD，EMAD后证之．

828

(2)注意到△DEM∽△CMG，求出△CMG的周长等于4a，从而它与点M在CD边上的位置无关．

【巩固】同学们肯定天天阅读报纸吧?我国的报纸一般都有一个共同的特征：每次对折后，所得的长方形和原长

方形相似，问这些报纸的长和宽的比值是多少? 【解析】2∶1．

【例7】用剪刀将形状如图1所示的矩形纸片ABCD沿着直线CM剪成两部分，其中M为AD的中点．用这两部

分纸片可以拼成一些新图形，例如图2中的Rt△BCE就是拼成的一个图形．




E

A

M

D

A

M

B

图1

C

B

图2

C

图3

图4



(1)用这两部分纸片除了可以拼成图2中的Rt△BCE外，还可以拼成一些四边形．请你试一试，把拼好的四边形分别画在图3、图4的虚框内．

(2)若利用这两部分纸片拼成的Rt△BCE是等腰直角三角形，设原矩形纸片中的边AB和BC的长分别为a厘米、b厘米，且a、b恰好是关于x的方程x2(m1)xm10的两个实数根，试求出原矩形纸片的面积．

【解析】(1)如图

A

M

E

A

M

E B

图3



C B

图4

C



(2)由题可知AB＝CD＝AE，又BC＝BE＝AB＋AE ∴BC＝2AB，即b2a

由题意知a,2a是方程x2(m1)xm10的两根 a2am1∴

a2am1

消去a，得2m213m70

1

解得m7或m

2131

经检验：由于当m，a2a0，知m不符合题意，舍去．

222

m7符合题意． ∴S矩形abm18



答：原矩形纸片的面积为8cm2．

【例8】电脑CPU蕊片由一种叫“单晶硅”的材料制成，未切割前的单晶硅材料是一种薄型圆片，叫“晶圆片”．现

为了生产某种CPU蕊片，需要长、宽都是1cm的正方形小硅片若干．如果晶圆片的直径为10．05cm．问一张这种晶圆片能否切割出所需尺寸的小硅片66张？请说明你的方法和理由．(不计切割损耗)




【解析】可以切割出66个小正方形．

方法1：

(1)我们把10个小正方形排成一排，看成一个长条形的矩形，这个矩形刚好能放入直径为10．05cm的圆内，如图中矩形ABCD． ∵AB＝1，BC＝10

∴对角线AC＝100＋1＝101＜10.05

(2)我们在矩形ABCD的上方和下方可以分别放入9个小正方形．

2

2

EABF

HDCG



∵新加入的两排小正方形连同ABCD的一部分可看成矩形EFGH，矩形EFGH的长为9，高为3，对角

2222

线EG9381990＜10.05．但是新加入的这两排小正方形不能是每排10个，因为：

102321009109＞10.052

222

(3)同理：85642589＜10.05

92528125106＞10.052

∴可以在矩形EFGH的上面和下面分别再排下8个小正方形，那么现在小正方形已有了5层． (4)再在原来的基础上，上下再加一层，共7层，新矩形的高可以看成是7，那么新加入的这两排，每排都可以是7个但不能是8个．

222∵77494998＜10.05

82726449113＞10.052

(5)在7层的基础上，上下再加入一层，新矩形的高可以看成是9，这两层，每排可以是4个但不能是5个．

222∵49168197＜10.05

52922581106＞10.052

现在总共排了9层，高度达到了9，上下各剩下约0．5cm的空间，因为矩形ABCD的位置不能调整，故再也放不下一个小正方形了． ∴10＋2×9＋2×8＋2×7＋2×4＝66(个) 方法2：

学生也可能按下面的方法排列，只要说理清楚，评分标准参考方法一． 可以按9个正方形排成一排，叠4层，先放入圆内，然后： (1)上下再加一层，每层8个，现在共有6层． (2)在前面的基础上，上下各加6个，现在共有8层． (3)最后上下还可加一层，但每层只能是一个，共10层． 这样共有：4×9＋2×8＋2×6＋2×1＝66(个)


【例9】在一张长12cm、宽5cm的矩形纸片内，要折出一个菱形．李颖同学按照取两组对边中点的方法折出菱形

EFGH(见方案一)，张丰同学沿矩形的对角线AC折出∠CAE＝∠DAC，∠ACF＝∠ACB的方法得到菱形AECF(见方案二)，请你通过计算，比较李颖同学和张丰同学的折法中，哪种菱形面积较大？

A E B

F (方案一)





【解析】(方案一)

S菱形S矩形4S

AEH

H

D G C

A

F

D

B

E

(方案二)

C

15

12546

22

30(cm2)

(方案二)

设BE＝x，则CE＝12－x AEBE2AB225x2

由AECF是菱形，则AE2＝CE2 25x2(12x)2

119

x24

S菱形=S矩形2SABE

1119

12525

224

35.21(m)

比较可知，方案二张丰同学所折的菱形面积较大．

【例10】如图，⊙O表示一圆形纸板，根据要求，需通过多次剪裁，把它剪成若干个扇形面，操作过程如下：

第1次剪裁，将圆形纸板等分为4个扇形；第2次剪裁，将上次得到的扇形面中的一个再等分成4个扇形；以后按第2次剪裁的作法进行下去．

(1)请你在⊙O中，用尺规作出第2次剪裁后得到的7个扇形(保留痕迹，不写作法)． (2)请你通过操作和猜想，将第3、第4和第n次裁剪后所得扇形的总个数(S)填入下表．

1 2 3 4 … n 等分圆及扇形面的次数(n)

4 7 … 所得扇形的总个数(S)

(3)请你推断，能不能按上述操作过程，将原来的圆形纸板剪成33个扇形？为什么？

O



【解析】（1）如图所示






（2）

等分圆及扇形面的次数(n) 所得扇形的总个数(S)

1 4

2 7

3 10

4 13

… …

n 3n＋1

（3）不能．令3n＋1＝33，解得n不是整数．

【例11】如图，若把边长为1的正方形ABCD的四个角(阴影部分)剪掉，得一四边形A1B1C1D1．试问怎样剪，

5

才能使剩下的图形仍为正方形，且剩下图形的面积为原正方形面积的，请说明理由(写出证明及计算

9

过程)．



12

【解析】剪法是：当AA1＝BB1＝CC1＝DD1＝或时，

335

四边形A1B1C1D1为正方形，且S＝．

9

在正方形ABCD中，

AB＝BC＝CD＝DA＝1， ∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°． ∵AA1＝BB1＝CC1＝DD1， ∴A1B＝B1C＝C1D＝D1A．

∴△D1AA1≌△A1BB1≌△B1CC1≌△C1DD1． ∴D1A1＝A1B1＝B1C1＝C1D1，

∴∠AD1A1＝∠BA1B1＝∠CB1C1＝∠DC1D1． ∴∠AA1D＋∠BA1B1＝90°，即∠D1A1B1＝90°． ∴四边形A1B1C1D1为正方形．设AA1＝x， 则AD1＝1－x．



5∵正方形A1B1C1D1的面积＝，

9

1

∴S△AA1D1＝

9

11即x(1－x)＝， 29

整理得9x2－9x＋2＝0．

12

解得x1＝，x2＝．

33

12

当AA1＝时，AD1＝，

33

21

当AA1＝时，AD1＝．

33

12

∴当AA1＝BB1＝CC1＝DD1＝或时，

33


5

四边形A1B1C1D1仍为正方形且面积是原面积的．

9

板块二：与折叠(轴对称)有关的证明题

【例12】已知：如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，∠B的平分线交AC于点D．求证：AB＋AD＝BC．

A

D

B



F

C



【解析】过点D作DF⊥BC，垂足为F，构造“角的平分线的定理的基本图形”．由定理得到DA＝DF，再证DF＝FC，由△ABD≌△FBD得出AB＝BF，于是AB＋AD＝BF＋FC＝BC．

【巩固】如图，在直角ABC中，BAC90，ABAC，BD平分ABC交AC于D，作CEBD交BD的延

长线于E，则BD与CE的大小关系是__________．

A

D

E

BC



【解析】 【巩固】如图所示，在ABC中，延长BD至E，使DEAD．求A100，ABC40，BD是ABC的平分线，

证：BCABCE

A

D

E

A

D

E

BC

BFC



【解析】提示：在BC上截取BF＝BA，证△CDE≌△CDF．

【变式】已知等腰ABC，A100，ABC的平分线交AC于D，则BDADBC．

A

D

BC



【解析】

【巩固】如图，在ABC中，AB3AC，A的平分线交BC于D，过B作BEAD，垂足为E，求证：ADDE．

F

G

E

C

D

B

E

C

D

B

AA




【解析】延长AC、BE，交于点F，作EG∥BC．则有AB＝AF，点C、G是AF的三等分点，又EG∥BC，故AD＝DE．

【巩固】如图所示，在ABC中，ACAB，M为BC的中点，AD是BAC的平分线，若CFAD且交AD的

1

延长线于F，求证MFACAB．

2

A

A

BD

D

B

F

M

M

C

E

F

C



【解析】

【例13】在四边形ABCD中，对角线AC平分BAD，AB＞AD，下列结论中正确的是( )．

A．ABAD＞CBCD B．ABAD＝CBCD C．ABAD＜CBCD D．ABAD与CBCD的大小关系不确定

A

B

C

D



【解析】因为AC平分BAD，以AC为对称轴作△ACD的对称图形△ACE，则ABAD＝ABAE＞

CBCECBCD.故选A． 【巩固】如图在△ABC中，∠BAC＝100°，∠ACB＝20°，CE是∠ACB的平分线，D是BC上一点，若∠DAC＝

20°，求∠CED的度数．

AE

C

B



【解析】作点A关于CE的对称点M，证△BEM∽△BDA再通过比例线段得出ED∥AC，从而∠CED＝10°．

AE

C

D

B

M



【例14】A、B、C三个村庄在一条东西走向的公路沿线，如图，AB＝2千米，BC＝3千米，在B村庄的正北方

向有一个D村，测得ADC45,今将△ADC区域规划为开发区，除其中4平方千米的水塘外，均作为建筑或绿化用地，试求这个开发区的建筑及绿化用地的面积是多少？

D


D

D

F

E

A

BG

C



【解析】分别以DA、DC为对称轴，作Rt△ADB和Rt△BDC的对称图形Rt△ADE和Rt△FDC，延长EA和FC

交于G，则四边形DEGF是以DB为边长的正方形．

设DBx,在RtAGC中，AGx2，CGx3,AC5,由勾股定理得x6,因此SADC15, 所以这个

开发区的建筑及绿化用地的面积是11平方千米．

【例15】如图，已知△ABC是等边三角形，D、E分别在BA、BC的延长线上，且AD＝BE，求证：DC＝DE．

D

D

ABC

AA

B

C

EB

C

E

F



【解析】补全正三角形，证全等，等量代换

【例16】如图，在△ABC中，∠B、∠C的平分线BE、CF相交于点O，AG⊥BE于G，AH⊥CF于H．

(1)求证：GH∥BC；

(2)若AB＝9cm，AC＝14cm，BC＝18cm，求GH的长．

AFH

B

O

C

G

E

AFH

B

N

O

M

C

G

E



【解析】若延长AG，设延长线交BC于M．由角平分线的对称性可以证明△ABG≌△MBG，从而G是AM的中

点；同样，延长AH交BC于N，H是AN的中点，从而GH就是△AMN的中位线，所以GH∥BC，进而，利用△ABC的三边长可求出GH的长度．

(1)证明：分别延长AG，AH交BC于M，N，在△ABM中，由已知，BG平分∠ABM，BG⊥AM，所以△ABG≌△MBG(ASA)．从而，G是AM的中点．

同理可证：△ACH≌△NCH(ASA)，从而，H是AN的中点．所以GH是△AMN的中位线，从而，HG∥MN，即HG∥BC．

(2)解：由(1)知，△ABG≌△MBG及△ACH≌△NCH， 所以AB＝BM＝9cm，AC＝CN＝14cm． 又BC＝18cm，

所以BN＝BC－CN＝18－14＝4(cm)，MC＝BC－BM＝18－9＝9(cm)． 从而MN＝18－4－9＝5(cm)，


15

所以GH＝MN＝cm．

22

【点评】(1)等腰三角形“三线合一”是平面几何中一条重要定理．底边上的中线、高线和顶角角平分线合而为一，

视觉上，这条线使图形呈现出完美的对称性；地位上，这条线使得被分开图形的左右两边具有绝对的“平等”．

(2)若将条件“∠B，∠C的平分线”改为“∠B(或∠C)及∠C(或∠B)的外角平分线”，或改为“∠B、∠C的外角平分线”(如图所示)，其余条件不变，则结论GH∥BC依然成立．

A

E

H

DH

G

B

CA

E

G

B

C

【例17】阅读下列材料：

问题：如图1，在四边形ABCD中，M是BC边的中点，且∠AMD＝90°，试判断ABCD与AD之间的大小关系．

小明同学的思路是：作点B关于AM的轴对称点E，连接AE、ME、DE，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．请你参照小明解题的思路，解决下列问题：



D

AB

M

C

D

AB

M

C

A

B

M

C

D

图1 图2 图3

(1)试判断图1中ABCD与AD之间的大小关系；

1

(2)如图2，将∠AMD度数改为120°，原问题中的其他条件不变，证明：ABBCCDAD；

2

(3)如图3，若∠AMD＝135°，AB＝1，BC＝22，CD＝2，求AD的最大值．

【巩固】(武汉市选拔赛试题)如图，在平行四边形ABCD中，BC＝2AB，M是AD中点，CE⊥AB于E，求证：

∠DME＝3∠AEM．

AEB

C

B

M

D

EA

M12N

3

D



C



【解析】欲证明∠DME＝3∠AEM，最好设法把∠AME扩大三倍或把∠DME三等分．取EC中点N，连结MN、

MC，于是有AB∥MN∥DC，又CE⊥AB，那么∠1＝∠AEM＝∠2，只要再证得∠2＝∠3即可． 证明：取EC中点N，连结MN、MC． ∵M是AD中点，N是EC中点， ∴MN是梯形AECD的中位线． ∴AB∥MN∥DC， ∵CE⊥AB，∴MN⊥EC ∴∠1＝∠AEM＝∠2，

1

∵BC＝2AB,AD＝BC,DC＝AB,MD＝ AD，

2∴MD＝DC


∴∠3＝∠DCM． ∵MN∥DC， ∴∠2＝∠DCM，

∴∠1＝∠2＝∠3＝∠AEM， ∴∠DME＝3∠AEM．

【点评】如果把本题的条件“BC＝2AB”和结论“∠DME＝3∠AEM”交换，其他条件不变，命题是否还成立呢？

板块三：与折叠(轴对称)有关的几何作图题

【例18】如图，P、Q为ABC边上的两个定点，在BC边上，求作一点M，使PQM的周长最短．

B

P

AQC



【解析】

【巩固】已知：如图，牧马营地在M处，每天牧马人要赶着马群先到草地吃草，再到河边饮水，然后，回到营

地M处，请你设计出最短的放牧路线．

河

M

草地



【解析】

【例19】 如图，A为马厩，B为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地某一处牧马，再到河边饮马，

然后回到帐篷．请你帮他确定这一天的最短路线．

草地

A

河流

B



【解析】

【巩固】在平面直角坐标系中，点P(2，3)、Q(3，2)请在X轴和Y轴上分别找到M点到N点，使四边形PQMN

的周长最小

(1)作出M点和N点．

(2)求出M点和N点的坐标．


y54321O

12

3

4

5

x

P

Q



【解析】

作业：

【习题】如图，∠B＝∠C＝90°，E点是BC中点，DE平分∠ADC．求证：AE平分∠DAB．

D

C

E

A

B



【解析】

【习题】EG、FG分别是∠MEF和∠NFE的平分线，交点是G点，BP，CP分别是∠MBC和∠NCB的平分线，

交点是P点，点F，C在AN上，点B，E在AM上． (1)如果∠G＝47°，那么∠P的度数大小你能知道吗？ (2)点A，P，G的位置关系如何？证明你的结论．

N

CF

P

G

A

BE

M



【解析】

【习题】如图，ΔABE≌ΔADC≌ΔABC，若∠1︰∠2︰∠3＝13︰3︰2，则∠α＝________°．

E

D

αPA1

2B

3

C



【解析】

【习题】沿矩形ABCD的对角线BD翻折△ABD得△A/BD，A/D交BC于F，如图所示，△BDF是何种三角形？

请说明理由．


AD

B

FA'

C



【解析】

【习题】★★★如图，已知△ABC中∠C＝90°，∠CAD＝30°，AC＝BC＝AD，求证：CD＝BD．

C

E

D

A

C

C

C

C

D

B

A

B



D

A

E

B

A

ED

F

E

D

B

BA

【解析】方法1：作∠ACB和∠BAC的平分线，交于点E．证△ACE≌△ADE，倒角知∠CDE＝30°，∠EDA＝45°．证

∠EBA＝∠EAB＝30°，知∠ADB＝135°，故点E、D、B共线，所以∠DBC＝∠DCB＝15°，所以CD＝BD．

方法2：将△ACD沿AD翻折，连结BE、CE．

方法3：作CE⊥AD，作DF⊥BC，证△CDE≌△CDF，则有CF＝CE＝

的中垂线，所以CD＝BD．

【习题】△ABC为等腰三角形，AB=AC,∠BAC=80°，D在△ABC内，且∠DBC=10°，∠DCB=30°，求∠BAD的

度数．

A

A

11

AC＝BC，所以DF是BC22

E

D

B

C

B

F

D

C



【解析】过点A作BC垂线，作∠ABD平分线，连接DE．证△ABE≌△DBE（ASA），从而△ABD是等腰三角形，

根据∠ABD=40°，求得∠BAD=70°．



【习题】(2006北京课改)如图(1)所示，OP是MON的平行线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴

的全等三角形．请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：


(1)如图(2)，在ABC中，ACB是直角，B60，AD、CE分别是BAC、BCA的平分线，AD、CE相交于点F．请你判断并写出FE与FD之间的数量关系．

(2)如图(3)，在ABC中，如果ACB不是直角，而(1)中的其他条件均不变，请问，你在(1)中得到的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

B

M

B

E

E

F

F

DC

D

O

（1）

N

P

A

（2）

A

（3）

C



【解析】

【习题】如图，已知AD∥BC，AE平分∠DAB，BE平分∠ABC，直线DC经过点E，交AD于D，交BC于C．求

证：AD＋BC＝AB．

D

E

C

A

B



【解析】方法不唯一．

【习题】如图：在△ABC中，AD平分∠BAC，CE⊥AD于E．求证：∠ACE＝∠B＋∠ECD．

A

A

E

B

D

C

B

F

ED

C



【解析】延长CE．

【习题】如图，在等腰直角△ABC的斜边上取两点M、N，使∠MCN＝45°，设AM＝m，MN＝x，BN＝n，试判

断以x、m、n为边长的三角形的形状．

C

A

mxn



【解析】将△ACM与△BCN向内翻折，构造直角三角形．另解：将△ACM绕点C逆时针旋转90°，构造直角三角

形．

MN

B

1

【习题】已知点M是四边形ABCD的BC边的中点，且AMD120，证明：ABBCCDAD．

2

A

D

BMC



【解析】


【习题】设M是凸四边形ABCD的边BC的中点，AMD135，求证：AB

D

A

2

BCCDAD． 2

BMC



【解析】

【习题】怎样用一张长方形纸片折出一个等边三角形？说明理由．

【解析】①(以短边为三角形的边长)对折长方形纸片ABCD，折痕为MN，如图，打开后，再折起一个角，使点B

落在折痕MN上，记作点P，折痕是AE．则PAB一定为等边三角形；

②将矩形ABCD纸片对折，折痕为MN，再把点B叠在折痕上，得到Rt△ABE，沿着EB线折叠，能得到等边△EAF．

E

MA

B

CND

F



【习题】把一张矩形纸片对折，使顶点B和D重合，折痕为EF，则重合部分是什么图形，说明理由． 【解析】如图：

A

E

D



B



【习题】(2008北京)已知等边三角形纸片ABC的边长为8，D为AB边上的点，过点D作DG∥BC交AC于点

G．DEBC于点E，过点G作GFBC于点F，把三角形纸片ABC分别沿DG，DE，GF按图1所示方式折叠，点A，B，C分别落在点A，B，C处．若点A，B，C在矩形DEFG内或其边上，且互不重合，此时我们称△ABC(即图中阴影部分)为“重叠三角形”．

A

A D

G

D

G

F

C

A

B

E C B F

C

A

B

C E C BF

图2

图1



(1)若把三角形纸片ABC放在等边三角形网格中(图中每个小三角形都是边长为1的等边三角形)，点

A，B，C，D恰好落在网格图中的格点上．如图2所示，请直接写出此时重叠三角形ABC的面积；

(2)实验探究：设AD的长为m，若重叠三角形ABC存在．试用含m的代数式表示重叠三角形ABC的面积，并写出m的取值范围．

【解析】

4

【习题】直线yx8与x轴、y轴分别交于点A和点B，M是OB上的一点，若将△ABM沿AM折叠，点B

3

恰好落在x轴上的点B处，则直线AM的解析式为_______．


yB

M

B'OAx



【解析】

【习题】如图，在平面直角坐标系中，Rt△AOB的顶点坐标分别为A(－2，0)，O(0，0)，B(0，4)．把△AOB绕

点O按顺时针方向旋转90°，得到△COD． (1)求C、D两点的坐标；

(2)求经过A、B、D三点的抛物线的解析式；

(3)在(2)中的抛物线的对称轴上取两点E、F(点E在点F的上方)，且EF＝1，使四边形ACEF的周长最小，求出E、F两点的坐标．

yBCO

D

x

C

E

A

F

AE

B

CDF

A



【解析】

【习题】已知抛物线C1如图1所示，现将C1以y轴为对称轴进行翻折，得到新的抛物线C2．

(1)求抛物线C2的解析式；

(2)(2)在图1中，将△OAC补成矩形，使△OAC的两个顶点成为矩形一边的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，请直接(不需要写过程)写出矩形的周长；

(3)(3)如图2，若抛物线C1的顶点为M，点P为线段BM上一动点(不与点M、B重合)，PN⊥x轴于N，请求出PC＋PN的最小值．

y

C1

yC1

N

x

AoB

x

AoP

N

B

C

M

C

C

MPC'



M

图1

图2

【解析】

【习题】如图，等腰直角三角形中，AB＝BC，点D是AC上的点，且AD＝1，CD＝2，P点是直线BC上的一

动点，连结AP、PD，求AP＋PD的最小值．


A

D

A

D

B

P

C

B

P

C







A'



【解析】

【习题】如图(1)，凸四边形ABCD，如果点P满足∠APD＝∠APB＝α．且∠BPC＝∠CPD＝β，则称点P为四边

形ABCD的一个半等角点．

(1)在图(1)正方形ABCD内画一个半等角点P，且满足α≠β．

(2)在图(4)四边形ABCD中画出一个半等角点P，保留画图痕迹(不需写出画法)．

(3)若四边形ABCD有两个半等角点P1、P2(如图(2))，证明线段P1P2上任一点也是它的半等角点．

DB'PB

C





【解析】

【习题】如图，设AB使圆的直径，F、G使AB上的两点，∠AFC＝∠BFD，∠AGD＝∠BGE，且弧AC＝60°，

弧BE＝20°，求∠FDG．

CA

D

E

B

CAC'

D

EBGE'

CA

D

EB

F

G

F

F

G



【解析】

【习题】设AM是等腰△ABC的底边BC上的中线，P是∠ABM内任意一点，求证：∠APB>∠APC．

A

A

PB

QM

C

B

P

QM

C




【解析】

【习题】在数学学习过程中，通常是利用已有的知识与经验，通过对研究对象进行观察、实验、推理、抽象概括，

发现数学规律，揭示研究对象的本质特征．比如“同底数幂的乘法法则”的学习过程是利用有理数的乘方概念和乘法结合律，由“特殊”到“一般”进行抽象概括的：

＋＋

22×23＝25，23×24＝27，22×26＝28，…2m×2n＝2mn，…am×an＝amn(m、n都是正整数)．

我们亦知：＜

2

321222223224

，＜，＜，＜，…． 31332333334

(1)请你根据上面的材料归纳出a、b、c(a＞b＞0，c＞0)之间的一个数学关系式；

(2)试用(1)中你归纳的数学关系式，解释下面生活中的一个现象：“若m克糖水里含有n克糖，再加入k克糖(仍不饱和)，则糖水更甜了”； (3)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CB＝a，CA＝b，AD＝BE＝c(a＞b)，能否根据这个图形提炼出与(1)中相同的关系式？并给予证明．

D

A

E B

C



【解析】



【习题】(07宁德)已知：矩形纸片ABCD中，AB26厘米，BC18.5厘米，点E在AD上，且AE6厘

米，点P是AB边上一动点．按如下操作：

步骤一，折叠纸片，使点P与点E重合，展开纸片得折痕MN(如图1所示)； 步骤二，过点P作PT⊥AB，交MN所在的直线于点Q，连接QE(如图2所示)

(1)无论点P在AB边上任何位置，都有PQ_________QE(填“”、“”、“”号)； (2)如图3所示，将纸片ABCD放在直角坐标系中，按上述步骤一、二进行操作： ①当点P在A点时，PT与MN交于点Q1，Q1点的坐标是(_______，_________)； ②当PA6厘米时，PT与MN交于点Q2，Q2点的坐标是(___，____)

③当PA12厘米时，在图3中画出MN，PT(不要求写画法)，并求出MN与PT的交点Q3的坐标； (3)点P在运动过程，PT与MN形成一系列的交点Q1，Q2，Q3，…观察、猜想：众多的交点形成的图象是什么？并直接写出该图象的函数表达式．

C

y D

B D

M

C D

T

M Q

C

18

C

12

(P)E A

P 图1

B

E A

N

P 图2

B

E

Q1

0(A)

6

12

18

24 B

6

Q2

x

图3

【解析】

【习题】在直线L上求作一点P，使PA＝PB．


A

B

l

(1)



【解析】

【习题】在直线L上求作一点P，使PAPB最小．

A

B

l

(2)



【解析】

【习题】如图，在直线L上求作一点P，使PAPB最大．

B

A

L

(3)



【解析】

【习题】如图，四边形EFGH是一长方形的台球桌面，现在黑、白两球分别位于A、B两点的位置上．试问怎样

撞击黑球A，才能使黑球A先碰到球台边EF，反弹后再击中白球B

H

B

A

E

G

F



【解析】

【习题】如图所示，EFGH是一个台球桌面，有黑白两球分别置于A、B两点位置上，试问怎样撞击白球B，经

桌面HE、EF连续反弹后，准确击中黑球A?

H

B

A

E

G

F




【解析】 【习题】《注意数学思想方法的培养和几何语言的训练》1．如图，AC、BC所在直线为两海岸线，一艘船从M

点出发到N点，再由N点去BC岸，但到N点之前要先去AC岸，问走怎样的路线才能使路程最短?请作图并说明理由．

C

A

N

M

B



【解析】

【习题】如图，某住宅小区拟在休闲场地的三条道路上修建三个凉亭A、B、C，且凉亭用长廊连通，如果凉亭A、

B的位置已经选定，那么凉亭C应建在什么位置，才能使工程造价最低?请用尺规作出图形(不写作法，但保留作图痕迹)，并简要说明理由．

n

B

lm

A



【解析】

【习题】如图，⊙O及定点P在直线a的同侧，试在⊙O上取一点M，直线a上取一点N，使得OM＋MN＋NP

最小(写出作法，不要求证明)．

O

O

M

P

a

P

aP'



N

【解析】 【习题】★★设A、B是定直线XY异侧的两个定点，P为XY上一定点，试在XY上求作一点O，使∠PAQ＝∠PBQ．

B'

A

X

Y

X

AYX

B'

AY

PQ

PQ

P

B

BB



【解析】

【习题】★★★设A、B是定直线XY同侧的两个定点，试在XY上求作一点O，使∠AOX＝2∠BOY．


A

B

X

O

CYXA'

A

B

O

B'

Y



【解析】

【习题】如图所示，已知正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM＝2，N是AC上一动点，当DN＋MN

最小时，试确定N的位置．

A

DM

B

C



【解析】

【习题】★★如图，在平面直角坐标系xoy中，已知点A(0，3)，直线x＝3，一个动点P自OA的中点M出发，

先到达x轴上的某点(设为点E)，再到达直线x＝3上某点(设为点F)最后运动到点A，求使点P运动的路径中最短的点E、F的坐标．

y

x=3

543A21OM12

3

4

5

x



【解析】

【习题】★★(2011大兴一模)已知：如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，∠A、∠B均为锐角．

(1)当∠A＝∠B时，则CD与AB的位置关系是CD_____AB，大小关系是CD_____AB； (2)当∠A>∠B时，(1)中CD与AB的大小关系是否还成立，证明你的结论． 【解析】(1)如图1，CD∥AB，CD<AB．



(2)答：CD<AB还成立．证法1：如图2，分别过点D、B作BC、CD的平行线，两线交于F点． ∴四边形DCBF为平行四边形．∴FDBC,DCFB.

∵AD＝BC，∴AD＝FD．作∠ADF的平分线交AB于G点，连结GF． ∴∠ADG＝∠FDG．


ADFD,

在△ADG和△FDG中ADGFDG,

DGDG,

∴△ADG≌△FDG．∴AG＝FG．∵在△BFG中，FGBGBF．∴AGBGDC.∴DC<AB． 证法2：如图3，分别过点D、B作AB、AD的平行线，两线交于F点． ∴四边形DABF为平行四边形． ∴DFAB,ADBF. ∵AD＝BC， ∴BC＝BF．

作∠CBF的平分线交DF于G点，连结CG． 以下同证法1



【拓展】★如图，I是△ABC的内心，且CAAIBC．若BAC80，求ABC和AIB的大小．

C

I

B

A



【解析】

【习题】在四边形ABCD中，AD∥BC，A的平分线AE交DC于E．求证：当BE是B的角平分线时，有

ADBCAB． 【解析】

【习题】如图，ABC中，ABAC，A108，BD平分ABC交AC于D点．求证：BCACCD．

A

D

BC



【解析】

【习题】如图，ABC中，A的平分线交BC于D，ABACCD，B40，那么C的大小是__________．

A

BDC



【解析】

【习题】如图，在ABC中，BAC90，B2C，D点在BC上，AD平分BAC，若AB1，则BD的

长为____________．