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平面向量
一.向量有关概念:
1.向量的概念:既有大小又有方向的量,注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示,注意不能说向量就是有向线段,为什么?(向量可以平移)。如:
2.零向量:长度为0的向量叫零向量,记作:0,注意零向量的方向是任意的;
uuuruuur
AB3.单位向量:长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB共线的单位向量是uuur
4.相等向量:长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量,相等向量有传递性;
);
|AB|
5.平行向量(也叫共线向量):方向相同或相反的非零向量a、b叫做平行向量,记作:a∥b,规定零向
量和任何向量平行。 提醒:
①相等向量一定是共线向量,但共线向量不一定相等;
②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念:两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合;
r
③平行向量无传递性!(因为有0);
uuuruuur
AC共线; ④三点A、B、C共线AB、
下列命题:(1)若
rrrr
(2)两个向量相等的充要条件是它们的起点相同,终点相同。(3)若ab,则ab。
rrrruuuruuuruuuruuurrr
则ABCD是平行四边形。(4)若ABCD是平行四边形,则ABDC。(5)若ab,bc,则ac。ABDC,
rrrrrr
(6)若a//b,b//c,则a//c。其中正确的是_______(答:(4)(5))
二.向量的表示方法:
6.相反向量:长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a的相反向量是-a。如
AB,注意起点在前,终点在后;
2.符号表示法:用一个小写的英文字母来表示,如a,b,c等;
1.几何表示法:用带箭头的有向线段表示,如
3.坐标表示法:在平面内建立直角坐标系,以与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,
rrr
a任一向量可表示为axiyjx,y,称x,y为向量a的坐标,a=x,y叫做向量a的坐标表示。
如果向量的起点在原点,那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。
j为基底,则平面内的
三.平面向量的基本定理:如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对该平面内的任一向量a,有且只有
一对实数1、2,使a=1e1+2e2。如
rrrr1r3r
(1)若a(1,1),b(1,1),c(1,2),则c______(答:ab);
22
(2)下列向量组中,能作为平面内所有向量基底的是
uruur
A. e1(0,0),e2(1,2) B.
uruur
C. e1(3,5),e2(6,10) D.
uruur
e1(1,2),e2(5,7) uruur13e1(2,3),e2(,)
24
(答:B);
rruuuruuuruuurruuurruuur
aAD,BEADa,BEb(3)已知分别是ABC的边BC,AC上的中线,且,则BC可用向量,b表示为2r4r
_____(答:ab);
33
(4)已知ABC中,点D在BC边上,且CD四.实数与向量的积:实数
2DB,CDrABsAC,则rs的值是___
(答:0)
与向量a的积是一个向量,记作a,它的长度和方向规定如下:
rr
1aa,2当>0时,a的方向与a的方向相同,当<0时,a的方向与a的方向相反,
rr
当=0时,a0,注意:a≠0。
1
五.平面向量的数量积:
uuurruuurr
1.两个向量的夹角:对于非零向量a,b,作OAa,OBb,AOB
0称为向量a,b的夹角,当=0时,a,b同向,当=时,a,b反向,当=
b垂直。
时,a,2
rr
2.平面向量的数量积:如果两个非零向量a,b,它们的夹角为,我们把数量|a||b|cos叫做a与b的
rr
数量积(或内积或点积),记作:a•b,即a•b=abcos。规定:零向量与任一向量的数量积是0,注
意数量积是一个实数,不再是一个向量。如
(1)已知a(1,
r
rrurrrru1r1rr
),b(0,),cakb,dab,c与d的夹角为,则k等于____ 224
(答:1);
rrrrrr
(2)已知a2,b5,agb3,则ab等于____
rrrrrr
(3)已知a,b是两个非零向量,且ababrrr
,则a与ab的夹角为____
(答:
23);
r
3.b在a上的投影为|b|cos,它是一个实数,但不一定大于0。如
(答:30)
o
12
a|3,|b|5,且ab12,则向量a在向量b上的投影为______(答:)
5
r
4.a•b的几何意义:数量积a•b等于a的模|a|与b在a上的投影的积。
已知|
5.向量数量积的性质:设两个非零向量a,b,其夹角为,则:
-
r2rrr2rr2
②当a,b同向时,a•b=,特别地,aa•aa,aa;当a与b反向时,a•b=
rr
rrrrrra•b
|aab;③非零向量a,b夹角的计算公式:cosrr;④•b||a||b|。如
ab
rrab
(1)已知a
rrrr
①aba•b0;
(,2),b(3,2),如果a与b的夹角为锐角,则的取值范围是______
41
(答:或0且);
33
六.向量的运算:
1.几何运算:
①向量加法:利用“平行四边形法则”进行,但“平行四边形法则”只适用于不共线的向量,如此之外,向量加法还可利用“三角形法则”:设
rruuuruuuruuurabABBCAC;
uuurruuurrABa,BCb
,那么向量
uuurAC
叫做
ra
与
rb
的和,即
uuurruuurrrruuuruuuruuurABa,ACb,那么abABACCA②向量的减法:用“三角形法则”:设,由减向量的终点
uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur
(1)化简:①ABBCCD___;②ABADDC____;③(ABCD)(ACBD)_____
指向被减向量的终点。注意:此处减向量与被减向量的起点相同。如
uuuruuurr
(答:①AD;②CB;③0);
uuurruuurruuurrrrr
(2)若正方形ABCD的边长为1,ABa,BCb,ACc,则|abc|=_____
(答:2
2);
rr
2.坐标运算:设a(x1,y1),b(x2,y2),则:
rr
①向量的加减法运算:ab(x1x2,y1y2)。如
2
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