三角形及三角函数相关定理,公式

2022-10-02 20:43:20 文档大全网 [ 字体：小中大 ] [ 阅读： ]

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中线

三角形的一个顶点与它的对边中点的连线，平分三角形的面积的这条线叫做三角形的中线。

高

过三角形的顶点作对边的垂线，垂足与顶点间的线段叫三角形的高线。

角平分线

三角形的内角的平分线与对边的交点和这个内角顶点之间的线段叫三角形的角平分线

中位线

任意两边中点的连线。它平行于第三边且等于第三边的一半。[3]

五心

以下记三角形的三个顶点为A、B、C，相应的对边边长为a、b、c，系数K(a) = -a^2+b^2+c^2，K(b）、K(c）类推。三线坐标各分量直接乘以相应边长即可转换为面积坐标，以某点的面积坐标结合三顶点坐标计算该点平面直角坐标的方法：记某点面积坐标为（μa,μb,μc），三分量之和为μ，则有Px= (μa·Xa + μb·Xb + μc·Xc) / μ，Py类推。

三线坐标

名称

定义

（内心坐标）

重心

三条中线（顶点到对边中点连线）的交点

1/a: 1/b: 1/c

（重心坐标）

到每个顶点的距离等于它到对边中点的距离的2倍

1 : 1 : 1

1/K(a) : 1/K(b) : 1/K(c) 或

垂心

三条高（顶点到对边的垂线）的交点

sec A: sec B: sec C

tan(A) : tan(B) : tan(C)

内心外心旁心

三条内角平分线的交点三边中垂线的交点

一内角平分线和另两角外角平分线的交点

到各边的距离相等

1 : 1 : 1

cos A: cos B: cos C -1 : 1 : 1，余类推

a: b: c

到三个顶点的距离相等

a^2·K(a) : b^2·K(b) : c^2·K(c) -a: b: c，余类推

面积坐标

性质

注意：①三角形的内心、重心都在三角形的内部。

②钝角三角形垂心、外心在三角形外部。（三条高的延长线交于一点，在三角形的外部） ③直角三角形垂心、外心在三角形的边上。（直角三角形的垂心为直角顶点，外心为斜边中点。） ④锐角三角形垂心、外心在三角形内部。

四圆

内切圆：以内心为圆心，以内心到边的距离为半径的圆，与三角形三边都相切。外接圆：以外心为圆心，以外心到顶点的距离为半径的圆，三角形三个顶点都在圆周上。旁切圆：以旁心为圆心，以旁心到边的距离为半径的圆，与三角形一边及另两边延长线相切。

欧拉圆：又称―九点圆‖，即3个欧拉点、三边中点和三高垂足九点共圆。九点圆圆心为垂心与外心连线中点，三线坐标为：cos(B - C) : cos(C- A) : cos(A - B），半径为外接圆半径的一半。内切圆与欧拉圆在某一欧拉点相切。

三点

名称勒莫恩点奈格尔点欧拉点

定义

三个顶点与内切圆切点连线的交点，又称类似重心三个顶点与旁切圆切点连线的交点，又称界心三个顶点到垂心连线的中点，又称费尔巴哈点

三线坐标 a: b: c

csc^2(A/2) : csc^2(B/2): csc^2(C/2) cos(B-C) : cos(C-A) : cos(A-B)

一线

垂心、重心、外心和九点圆圆心四点共线，这条直线称为欧拉线。

界心（不常见）

三角形三条周界中线的交点叫做三角形的界心。

三角形界心性质：设点D、E、F分别为⊿ABC的BC、CA、AB边上的周界中点，R、r分别为⊿ABC的外接圆和内切圆的半径，则（1）S⊿DEF/S⊿ABC=r/2R；（2）S⊿DEF≤S⊿ABC/4。

五心的距离

OH^2=9R^2 – (a^2+b^2+c^2), OG^2=R^2 – (a^2+b^2+c^2)/9, OI^2=R^2 – abc/(a+b+c)=R^2 – 2Rr GH^2=4OG^2

GI^2=(p^2+5r^2 – 16Rr)/9,

HI^2=4R^2-p^2+3r^2+4Rr=4R^2+2r^2-(a^2+b^2+c^2)/2,

三角函数合一变形公式

两角和公式

sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA)

倍角公式

Sin2A=2SinA•CosA

Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 tan2A=（2tanA）/（1-tanA^2）

（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A））

三倍角公式

sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2 cos^2(a/2)=(1+cos(a))/2

tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a))

和差化积

sinθ+sinφ = 2 sin[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]

sinθ-sinφ = 2 cos[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2] cosθ+cosφ = 2 cos[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2] cosθ-cosφ = -2 sin[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]

tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)

积化和差

sinαsinβ = [cos(α-β)-cos(α+β)] /2 cosαcosβ = [cos(α+β)+cos(α-β)]/2 sinαcosβ = [sin(α+β)+sin(α-β)]/2 cosαsinβ = [sin(α+β)-sin(α-β)]/2

诱导公式 sin(-α) = -sinα cos(-α) = cosα tan (—a)=-tanα sin(π/2-α) = cosα cos(π/2-α) = sinα sin(π/2+α) = cosα cos(π/2+α) = -sinα sin(π-α) = sinα cos(π-α) = -cosα sin(π+α) = -sinα cos(π+α) = -cosα tanA= sinA/cosA tan（π/2＋α）＝－cotα tan（π/2－α）＝cotα tan（π－α）＝－tanα tan（π＋α）＝tanα

诱导公式记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限

万能公式

sinα=2tan(α/2）/〔1+tan＾(α/2)〕 cosα=〔1-tan＾(α/2)〕/1+tan＾(α/2)〕 tanα=2tan(α/2)/〔1-tan＾(α/2)〕

其它公式

(1)(sinα)^2+(cosα)^2=1 (2)1+(tanα)^2=(secα)^2 (3)1+(cotα)^2=(cscα)^2