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第二章 有理数
一、正数与负数：
1.正数：像+1.8，+420、+30、+10%等带有理数“+”号的数叫做正数。为了强调正数，前面加上“+”号，也可以省略不写。
2.负数：像－3、－4754、－50、－0.6、－15%等带有“－”号的数叫做负数。而负数前面的“－”号不能省略。
3.零既不是正数也不是负数，它是正数与负数的分界点。
注意：对于正数与负数，不能简单地理解为：带“+”号的数是正数，带“－”号的数是负数。例如－a不一定是负数，因为字母a代表任何一个有理数，当a是0时，－a是0，当a是负数时，－a是正数；正数与负数表示相反意义的量，习惯上把增加、盈利等规定为正，它们相反意义的量规定为负，正、负是相对而言。
二、有理数及其分类：
有理数：整数与分数统称为有理数。整数包括三类：正整数、零、负整数。分数包括两类：正分数和负分数。
注意：小学学过的零表示没有，而引入负数后，就不能把“零”完全当作没有了，如0℃就是一个特定的温度；现在我们学过的数，除和与有关的数外，其他的数都是有理数；引入负数后，数的范围扩大为有理数，奇数和偶数的外延也由自然数扩大到整数。 按整数、分数的关系分类： 按正数、负数、零的关系分类：
正整数正整数
正有理数
整数零正分数负整数有理数有理数 零负整数正分数分数负有理数负分数负分数
三、数轴：
1.数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。
注意：①数轴是一条直线，可以向两端无限延伸；②数轴有三要素：原点、正方向、单位长度三者缺一不可；③原点的位置、正方向的取向、单位长度的大小的选定，都是根据实际需要而定的。
2.数轴的画法：①画一条水平的直线；②在直线的适当位置选取一点作为原点，并用0表示这点；③确定向右为正方向，用箭头表示出来；④选取适当的长度作为单位长度，从原点向右，每隔一个单位长度取一点，依次为1，2，3，„；从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依次为－1，－2，－3，„。如图1所示。
四、相反数：
只有符号不同的两个数互为相反数。规定零的相反数是零。
从数轴上看，表示互为相反数的两个数，分别位于原点的两侧，且与原点的距离相等，如图1，3与－3互为相反数。
注意：相反数是成对出现的，不能单独存在，如+2与－2互为相反数，说明+2的相反数是－2，－2的相反数是+2，单独一个数不能说相反数；“只有”的含义说明像+5与－3这样的两个数不是互为相反数。
五、绝对值：
绝对值的几何定义：在数轴上，表示一个数a的点到原点的距离叫做这个数a的绝对值，记作|a|。
绝对值的代数定义：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0.
注意：①绝对值的求法：先判断这个数是正数、负数、还是零，再根据绝对值的代数定义去掉绝对符号；②绝对值的非负性：无论是绝对值的几何定义，还是绝对值的代数定义都揭示了绝对值的重要性质—非负性。也就是说，任何一个有理数的绝对值都是非负数，即
a (a0)
|a|0，|a|0 (a0)。
a (a0)
六、非负数
若数a≥0，则称a为非负数。
非负数的性质：任何非负数的和仍为非负数；如果几个非负数的和为0，则这几个非负数均为0。
七、倒数
乘积为1的两个有理数互为倒数。
倒数的求法：求一个数的倒数，直接可写成这个数分之一；求一个分数的倒数，只要将分子、分母颠倒即可；求一个带分数的倒数，应先将带分数化成假分数，再将分子、分母颠倒；求一个小数的倒数，应先将小数化成分数，然后再求倒数。
只有零没有倒数，其他任何有理数都有倒数。正数的倒数为正数，负数的倒数为负数。
八、有理数大小的比较：
1.利用数轴比较大小：数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。于是：正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数。
2任意有理数大小的比较法则：正数都大于零，负数都小于零，正数大于 一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。比较两个负数大小的步骤是：首先分别求出两个负数的绝对值；再比较两个绝对值的大小；最后根据“两个负数，绝对值大的反而小”作出正确判断。
九、基本运算
1、有理数的加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把其绝对值相加；异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得零；一个数与零相加，仍得这个数。
2、有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。
3、有理数的乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把其绝对值相乘；任何数与零相乘，都得零；几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数的个数为奇数个时，积为负；当负因数的个数为偶数个时，积为正。
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2023-03-11
