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椭圆知识点
知识点一:椭圆的定义
F2的距离之和等于常数(PF1PF22aF1F2) ,这个动平面内一个动点P到两个定点F1、
点P的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点,两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 注意:若PF1PF2F1F2,则动点P的轨迹为线段F1F2; 若PF1PF2F1F2,则动点P的轨迹无图形. 知识点二:椭圆的简单几何性质
x2y2y2x2
椭圆:221(ab0)与 221(ab0)的简单几何性质
abab
标准方程
x2y2
1 (ab0) a2b2
】
y2x2
1 (ab0) a2b2
图形
焦点 焦距
—
F1(c,0),F2(c,0) F1(0,c),F2(0,c)
F1F22c
F1F22c
范围
性质
对称性
xa,yb xb,ya
关于x轴、y轴和原点对称
顶点 轴长 离心率
(a,0),(0,b)
长轴长=2a,短轴长=2b
(0,a),(b,0)
e
c
(0e1) a
/
A1F1A2F2ac;A1F2A2F1ac;acPF1ac; (p是椭圆上一点)
1.椭圆标准方程中的三个量a,b,c的几何意义
a2b2c2
b2
2.通径:过焦点且垂直于长轴的弦,其长2
a
3.最大角:p是椭圆上一点,当p是椭圆的短轴端点时,F1PF2
为最大角。
2
4.焦点三角形的面积SPF1F2btan
(
2
,其中F1PF2
5. 用待定系数法求椭圆标准方程的步骤.
(1)作判断:依据条件判断椭圆的焦点在x轴上还是在y轴上. (2)设方程:
x2y2x2y2
①依据上述判断设方程为22=1(ab0)或22=1(ab0)
abba
②在不能确定焦点位置的情况下也可设mx2+ny2=1(m>0,n>0且m≠n).
(3)找关系,根据已知条件,建立关于a,b,c或m,n的方程组. (4)解方程组,代入所设方程即为所求. [
6.点与椭圆的位置关系: x2y2x2y2x2y2
2<1,点在椭圆内,22=1,点在椭圆上,22>1, 点在椭圆外。 2ababab7.直线与椭圆的位置关系
设直线方程y=kx+m,若直线与椭圆方程联立,消去y得关于x的一元二次方程:ax2+bx+c=0(a≠0).
(1)Δ>0,直线与椭圆有两个公共点;(2)Δ=0,直线与椭圆有一个公共点; (3)Δ<0,直线与椭圆无公共点.
8.弦长公式: $
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