阶乘数

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一 、张氏阶乘数

1.张氏阶乘数 （1）数列的三种类型 1线段型数列 ○

一个数列，从首项开始，共有有限数n项的数列，为线段型数列。可以表示为： {an}:a0,a1,a2,…an,…



像100以内的奇数列：1,3,5,...,99.等是线段型数列。

2一个数列，从首项开始，有无穷多项的数列，为射线型数列。可以表示为： ○

{an}:a-2,a0,a1,a2,…,a-1,…

像自然数列.1,2,3,...等是射线型数列。

3一个数列，从初始项开始，左右两端都有无穷多项的数列，为直线型数列。可以表示为：○ {an}:…a-2,a-1,a0,a1,a2,…

像正整数列：...,-2,-1,0,1,2,... 就是直线型数列。

（2）提到阶乘数，大家不禁想起现行高中课本中的自然数阶乘：n!123...n.并且规定，0!1.其实，任意数都有它的阶乘数——张氏阶乘数。

求阶乘数要用到张氏阶乘数大公式.它等于首项为a，公差为b的射线型等差数列的连乘积用符号“a(b)!”表示.

a(b)!a(ab)(a2b)...

如.

10○(0.5)!00.511.5...

2○5(3)!5(53)(56)... 310!101010... ○(0)

i(1)!i(i1)(i2)...

2.常用阶乘数.

当b =1(一般都省略不写）时，我们称之为常用阶乘数。

a!a(a1)(a2)...

(1) a为负数时： a!=±∞

证明.

∵一个负数乘以比本身小的负数，有奇数无穷个或有偶数无穷个因子， ∴积必定得±∞。 例如：

① (-1)!=(-1)×(-2)×(-3)×…=±∞

② (-1/8)!=(-1/8)×(-9/8)×(-17/8)×…=±∞ (2) a为小数时： a!=±∞

1






证明的道理同上，略。 例如：

① 1.6！ =1.6×0.6×(-0.4)×…=±∞

② (-1/8)!=(-1/8)×(-9/8)×(-17/8)×…=±∞ (3) a=0时，已经规定： 0！=1

有人说这是硬性规定，其实可以理解为： 0！=0×[(-1)×(-2)×…]=0×(-1)! =1 (4) a为自然数n时，（这里称为自然阶乘数）其阶乘为n到1的连乘积。可以广义地理解为：

∵n！=n(n-1)(n-2)…×2×1×0！

=n(n-1)(n-2)…×2×1×1

∴n！=n(n-1)(n-2）…×2×1 以上对a为实数时的常用阶乘数进行讨论，说明张氏阶乘数囊括了自然阶乘数。 3.有效计算

当有限数因子与无穷数(0和±∞)因子在同一个算式中，要先约去无穷数因子，后计算有限数，得到了准确值，叫做有效计算。反之，就得不到准确值。

1得0.○2得正或负无穷大(±∞).(3)得有限数. 两个无穷大相比有以下几种情况：○

例.

13×4×5×6×7×…/(5×6×7×…) ○

=3×4×5×6×7×…/(5×6×7×…)=12 25×4×3×2×1×0×-1×-2×-3×…/(-1×-2×-3×…) ○

=5×4×3×2×1×0×(-1×-2×-3×…)/(-1×-2×-3×…)=0 30(0.5)!/-0.5!=1 ○

3r4lim○3×3×3×…/(2×2×2×…) r2r2r

5lim○2×2×2×…/(3×3×3×…)= 0 r3r

3.阶乘数得幂公式（第一得幂公式）

(1)0a(ab)(a2b)...(anb)

0!(n1)!

(1)1(ab)(a2b)(a3b)...[a(n1)b]

1!n!

(1)2(a2b)(a3b)(a4b)...[a(n2)b]

2!(n1)!...

(1)n1[a(n1)b][a(n2)b]...[a(2n1)b]

(n1)!0!

简证：

bn1

(1) a/(0!×1!)- (a-b)/ (1! ×0!)=b

2

(2) a(a-b)/(0!×2!)-(a-b)(a-2b)/(1!× 1!)+(a-2b)(a-3b)/(2!×0!)=b (3) a(a-b)(a-2b)/(0!×3!)- (a-b)(a-

2b)(a-3b)/(1!×2!)+(a-2b)(a-3b)(a

3

-4b)/(2!×1!)-(a-3b)(a-4b)(a-5b)/(3!×0!)=b ……

2






如果继续递推下去，不难看出第一得幂公式 成立。 此公式的结果与a无关，只与b以及几个因式有关。 例如. (1)

○

150/(0!×1!) -48×46/(1!×1!)=2 ○

250×48/(0!×2！) -48×46/(1!×1!)

+46×44/(2!×0!)=22

○

350×48×46/(0!×3!) -48×46×44/(1!×2!) +46×44×42/(2!×1!)

-44×42×40/(3!×0!)=2

3

……

(2)

100009999...50015000!0!99999998...5000

4999!1!...

(3) 50004999...15000!0!

1



0.5×1×1.5×2/(0!×4!) -1×1.5×2×2.5/(1! ×3!) +1.5×2×2.5×3/(2!×2!) -2×2.5×3×3.5/(3!×1!) +2.5×3×3.5×4/(4!×0!)

=(-0.5)4







3

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