拓扑学简介(一)

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拓扑学简介〔一〕

拓扑学是现代数学的一个重要分支，同时是浸透到整个现代数学的思想方法。“拓扑〞一词是音译自德文topologie，最初由高斯的学生李斯亭引入〔1848年〕，用来表示一个新的研究方向，“位置的几何〞。中国第一个拓扑学家是江泽涵，他早年在哈佛大学师从数学大师莫尔斯，学成后为中国带来了这个新学科〔1931年〕。

拓扑学经常被描绘成“橡皮泥的几何〞，就是说它研究物体在连续变形下不变的性质。比方，所有多边形和圆周在拓扑意义下是一样的，因为多边形可以通过连续变形变成圆周，右边这个图上，一个茶杯可以连续地变为一个实心环，在拓扑学家眼里，它们是同一个对象。而圆周和线段在拓扑意义下就不一样，因为把圆周变成线段总会断裂〔不连续〕。为什么要研究这种性质呢？这就要追溯到几百年以前先贤们的遐想了。好在拓扑学比微积分还是新得多，用不着“言必称希腊〞，只要从莱布尼兹开场就行。

莱布尼兹作为微积分的主要奠基者之一，对抽象符号有特殊的偏好。经过他深思熟虑以后的微积分符号系统，比方微商符号dy/dx，不久就把牛顿的符号系统比下去了。在1679年的时候，莱布尼兹突发奇想，尝试用抽象符号代表物体的几何性质，用以将几何性质代数化，通过符号的代数运算，由已有的几何性质产生新的几何性质。他不满意笛卡尔的坐标

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系方法，认为有些几何性质是跟几何体的大小无关的，从而不能直接在坐标系中予以表达。可能是由于这个想法太超前了，在他自己的脑子里也还只是混沌一片，而当年听到他这个想法的很多人，比方惠更斯，干脆就不予理会。

莱布尼兹在三百多年前想要建立的，是如今称为“代数拓扑〞的学问，中间经过欧拉，柯西，高斯，李斯亭，莫比乌斯，克莱因，特别是黎曼和贝迪的考虑和尝试，终于在19，20世纪之交，由法国天才数学家庞卡莱悟到了。在这些先驱中，高斯名气最大，被称为数学王子；大家可能不太熟悉黎曼，其实他同高斯在数学史上的地位是相当的，他在19世纪中叶的很多想法直到如今还有着宏大的影响；莫比乌斯，他在数学上有很多奉献，不过他为世人所知还多半是因为用他的名字命名的奇怪曲面：莫比乌斯带。左边这个图就是莫比乌斯带，它的重要特性是，虽然在每个部分都可以说正面反面，但整体上不能分隔成正面和反面。这种曲面叫做“单侧曲面〞。在这样的曲面上漫步一定很别扭，哈哈。(

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