和单摆有关的综合问题

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与单摆有关的综合问题

单摆是实际摆的理想化模型，由质量不计，不考虑形变的细绳，悬挂一可看作质点的小物体构成。细绳上端固定，让悬挂的小物体偏离其平衡位置后释放，单摆作往复运动，成为一个单摆。

在不考虑空气阻力的前提下，单摆不仅可以看成是一个简谐振动，其单摆的运动也是一个圆周运动，摆锤在运动过程中只有重力做功，因而机械能守恒，再加上和牛顿第二定律有关的动力学知识，可以说围绕着单摆这一物理模型的知识，是多方面的。归纳起来有以下三个方面：

一、机械能守恒问题

不考虑空气阻力，摆捶摆动过程中只受重力和细绳的拉力，而拉力始终和摆锤运动的速度方向垂直，对运动的摆锤不做功，因此只有摆锤的重力做功， 机械能守恒。如图，若选取摆锤运动的最低点所在的 水平面作为零势面，则有：

mgL1cosm

1mv2

2

mgL1cos

12mvm 2

其中m为摆锤质量，L为摆长，m;是摆线与竖直方向的最大偏角和任意偏角，这样就可以把偏角和速度的大小关系用上式表示出来。

二、与牛顿第二定律有关的动力学知识

图2

涉及到动力学方向的问题，一般要讨论物体受到的向心力，合力；运动的向心加速度，

合加速度等物理量。可以通过摆锤在运动过程中的三个不同位置来分析，以弄清它们之间的关系。

1、摆锤摆动到最高点时

摆锤摆动到最高点时，线速度为零，向心加速度为零，因此

F向Tmgcosm0Tmgcosm





而在切线方向上

F切mgsinmma切



a切gsinm

在此位置，物体所受的合力F合F切mgsinm，运动的合加速度

a合a切gsinm

2、摆锤摆动到最低点时

根据机械能守恒定律知mgL1cosm

vmL

2

12

mvm 2

又 a

2g1cosm

再由牛顿第二定律F合Tmgma向2mg1cosm


T3mg2mgcosm 而切线方向上F切mgsin0 a切0

在此位置，物体所受的合力等于向心力，大小为 F切2mg1cosm 运动的合加速度 a合a向2g1cosm 3、当小球摆动到任意位置时

设此时摆线与竖直方向的夹角为，且，0    m ,根据机械能守恒定律： mgL1cosm

1mv2

2

mgL1cos

知 v22gLcoscosm

v

再a2gcoscosm

L

2

根据牛顿第二定律知 F向Tmgcosma向



T3mgcos2sinm

而在切线方向上 F切mgsiv a切

F切m

gsin

在此位置，物体受到的合力即不沿切线方向，也不沿法线方向，大小F合

为运动的合加速度也是向心加速度与切向加速度的矢量和，大小为a合

三、单摆的周期问题

2

F向F切

2

22

a向a切

单摆是实际摆的理想化模型，在此基础上变化的题型很多，就变型的题目进行归类，

求单摆的周期问题可分为三类。

1、与摆长变化有关的问题

例：如图，两细绳长为L与水平方向的夹角均为，下系一体积不计的小球，当小球在垂直于纸面的竖直平面内作小幅度摆动时，周期是多大？

解析：此单摆等效于一个摆长为Lsin 单摆， 故Lsin 就是该摆的有效摆长，由单摆的周期 公式知T2

2Lsin

g

例：如图，距悬点正下方

L

处有一钉子，摆长为L的单摆在竖直平面内作小幅度摆动2

摆线摆至竖直位置时被钉子挡住，则该摆的周期是多大？

解析：这是一个变摆长的摆，应看成是摆长为L及

L

的两个单摆的组合，该摆的周期应是这两个单摆 2

周期一半的和T

Lg

21 2


2、与重力加速度有关的问题

例：一只单摆，在第一行星表面上的振动周期为T1，在第二个行星表面上的振动周期

为T2，若两行星的质量之比M1：M2 = 4，半径之比 R1：R2 = 2，则T1：T2等于多少？

解析：该题涉及到两个不同行星表面上的单摆，实际上是两个不同重力场内的单摆。

可根据物体在星球表面所受的重力等于星球对物体的吸引力，找出星球表重力加速度，再由单摆的周期公式求出最后的结果。

由G

MmR

2

mg 知

g1g2



M1R2M2R1

22

4

1

1 4

故由 T2

TL

1gT2

g2g1

1

例：升降机中悬挂一用细绳和金属球做成的单摆，原周期为T，当升降机以加速度加

速a上升时，单摆振动的周期是多少？

解析：这是超重状态下的单摆，当升降机加速上升时，单摆相当于处在重力加速度为

（g+a）的重力场中，故：

LT2g

两式相比得T

LT2

ga

gga

T

应当指明的是，当升降机具有向下的加速度时，单摆相当于处在重力加速度为（g-a）

的重力场中，T2

L

，当a = g时单摆不摆动。 ga

3、与回复力有关的问题

单摆的周期和回复力与位移的比例系数有关系，若已知摆球质量m及回复力与位移的

比例系数k，代入公式T2

m

，即可求出周期，可见摆球质量一定时，回复力与位移的k

比例系数k决定着单动的周期。

例：如图，带正电的小球，用长为L的绝缘细绳系着悬挂于天花板上，若在悬点处固定另一带正电的小球，当绝缘细线下的小球在某一竖玩具平面内作小角度摆动时，周期应是多大？

解析：两球间的库仑斥力始终沿悬线方向，对小球振动时受到的回复力没有任何影响，因此，回复力与位移的比例系数仍和普通单摆一样，即k

mgL

,所以周期仍为T2

L

，上例中，若带正电g

的小球在垂直于某一匀强磁场的平面内作小角度摆动时，小球所受的洛仑兹力也始终沿悬线方向，对小球振动所受的回复力没有影响， 因此其振动的周期也为T2

L. g

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