猜想验证法

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猜 想 验 证 法

数学,像空气一样,看不见,摸不着,但它却时时刻刻存在于我们身边,体现在生活的方方面面.

把循环小数化成分数的方法,可以用移动循环节的过程来推导,也可以用无限递缩等比数列的求和公式计算得到.运用猜想验证的方法来推导. 例如:化纯循环小数为分数

一个有限小数可以化成分母是10、100、1000……的分数.那么,一个纯循环小数可以化成分母是怎样的分数呢?先从简单的循环节是一位数字的纯循环小数开始.如:a、a……化成分数

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时,它们的分母可以写成几呢?

可能是10吗?不可能.因为1/10＝0.1＜a,3/10＝0.3＞a;

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可能是8吗?不可能.因为1/8＝0.125＞a,3/8＝0.375＞a;那么,

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可能是几呢?因为1/10＜a＜1/8,3/10＜a＜3/8,所以分母可能

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是9.接下来我验证了自己的猜想:1/9＝1÷9＝0.111……＝a;3/9＝1/3＝1÷3＝0.333……＝a.

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计算结果说明我的猜想是对的.那么,所有循环节是一位数字的纯循环小数都可以写成分母是9的分数吗?根据我的猜想,把a、a化成分数后再验证一下.

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a＝4/9验证:4/9＝4÷9＝0.444……

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a＝6/9＝2/3验证:2/3＝2÷3＝0.666……

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经过上面的猜想和验证,可以得出这样的结论:循环节是一位数字的纯循环小数化成分数时,用一个循环节组成的数作分子,用9作分母;然后,能约分的再约分.

循环节是两位数字的纯循环小数怎样化成分数呢?如:a、

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a……化成分数时,它们的分母又可以写成多少呢?

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可能是100吗?不可能.因为12/100＝0.12＜a,13/100＝

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0.13＜a.可能是98吗?不可能.因为12/98≈0.1224＞a,13/98

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≈0.1327＞a;可能是多少呢?因为12/100＜a＜12/98,13/100＜

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a＜13/98,所以分母可能是99.是否正确,还需验证一下.

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12/99＝12÷99＝0.121212……＝a;

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13/99＝13÷99＝0.131313……＝a.

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验证结果说明我的猜想是正确的.那么,所有循环节是两位数字的纯循环小数都可以写成分母是99的分数吗?再运用猜想的方法,把a、a化成分数后,验算一下.

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a＝15/99＝5/33,验算:5/33＝5÷33＝0.151515……

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a＝18/99＝2/11,验算:2/11＝2÷11＝0.181818……

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经过这次猜想和验证,我们可以得出这样的结论:循环节是两位数字的纯循环小数化成分数时,用一个循环节组成的数作分子,用99作分母;然后,能约分的再约分.

因为循环节是一位数字的纯循环小数化成分数时,用9作分母,循环节是两位数字的纯循环小数化成分数时,用99作分母,所以循环节是三位数字的纯循环小数化成分数时,我猜想是用


999作分母,分子也是一个循环节组成的数.再来验证一次,如果这个猜想也是正确的,那么,就可以依次推下去了.

实验证明:我的猜想是正确的.照此推下去,循环节是四位数字的纯循环小数化成分数时,就要用9999作分母了.实践证明也是正确的.所以,纯循环小数化成分数的方法是:

用9、99、999……这样的数作分母,9的个数与循环节的位数相同;用一个循环节所组成的数作分子;最后能约分的要约分.

验证的结果也是正确的,说明我的猜想可能是正确的. 猜想验证的方法是人类探索未知的一种重要方法,很多科学规律的发现,都是先有猜想,而后被不断的验证、再猜想、再验证才被认识.猜想验证也是一种重要的数学思想方法.我们要学习运用这种思想方法.

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