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两个有理数相除是不会得无理数的，圆的周长除以直径是怎样得来的π？
这个问题，很多老师都有疑问，这儿就多说几句吧。
圆周率π是无理数——无限不循环小数。尽管，圆周长：直径=π，但“圆周率π是无限不循环小数”这个结论不是用除法“除”出来的，而是“证明”出来的！ 1、圆周率π的计算
在古代文明中，人们就感觉到“圆的周长与其直径的比，是一个定值”。中国古代算书《周陴算经》中就有“径一周三”之说；古代希伯来人在描述所罗门庙宇中的“熔池”时说：“池为圆形，对径为十腕尺，其周长为三十腕尺。”可以推测，古代人当时完全可以通过测量、计算，发现“径一周三”的规律。但，这样通过测量、计算圆周率是十分“粗糙”的，是“非数学性”的，因为圆的周长和直径是不能被准确测量的！
真正“数学性”地计算“圆的周长与其直径的比值”的人，据我看到的资料，最早当推公元前三世纪古希腊的阿基米德（Archimedes）。阿基米德在《圆的度量》一书中说：在半径为1的圆上，经过几何计算，推算出圆的外切和内接正n边形的周长，来“逼近”圆周长，进而得到圆周率π的取值范围。当他算到正96边形时，得到223/71＜π＜22/7，取得π=3.14的近似值。在我国，魏晋时期的刘徽在《九章算术》的注释中，提出了著名的“割圆术”思想：“割之弥细，失之弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣！” 刘徽在计算出圆的内接正192边形的面积时，就得到π=3.14；在计算出圆的内接正3072边形的面积时，就得到π=3.1416的结果。南北朝时代的祖冲之在《缀术》一书（现已失传）中，很可能也是用了刘徽的“割圆术”，算到正24576边形时（真不能想象当时用筹算怎么能进行这么复杂的计算），得到了3.1415926＜π＜3.1415927的结果，早出欧洲一千年。这种基于几何的算法计算量大，速度慢，吃力不讨好。
随着数学的发展，数学家们在进行数学研究时有意无意地发现了许多计算圆周率的公式。如：莱布尼兹公式
π=4/1－4/3＋4/5－4/7＋4/9－4/11＋4/13－4/15„„＋4（-1）^(n-1)/(2n-1)＋„„ 2、圆周率π是无理数、超越数的证明
1761年，德国数学家兰伯特首先证明了圆周率π是无理数；1794年勒德让在证明了π^2是无理数的同时，首先猜测到π可能是超越数；88年后的1882年德国数学家林德曼给出了圆周率π是超越数的严格证明。
关于圆周率π是无理数、超越数的证明，很多数学书中都能找到。华罗庚先生的《数论导引》中，就有关于圆周率π是无理数、超越数的比较简明的证明（参见1957年第一版，第557页）。 3、由上面的阐述可知：“圆周率π是无理数”，是经过严格的数学逻辑推理得到的结果，并不是像小学数学课本中说的那样，是“圆周长÷直径”除得的，因为你根本就无法准确测量出圆的周长和直径！
现在我们再来看：圆周长÷直径=π
说我们已经测量出了圆周长和直径，且都是有理数（测量的结果只能是有理数），除得的商怎么会是无理数呢？两个有理数的商只能是有理数啊。毛病出在哪儿呢？其实，需要反过来想：既然已经证明了圆周率π是无理数，而两个有理数的商又不能是无理数，那就正好反证了“测得”的周长、直径不可能都是有理数，两个量中应该至少有一个无理数（当然，这是无法通过测量得到的）。试问：怎么能用“无法准确测得”的两个数来除得一个无理数呢？
两个有理数相除，如果除不尽就一定得循环小数。（正确） 圆的周长除以直径得到圆周率π，π是一个无限不循环的小数。 π的值的确是除法计算得来的。
只是如果直径是一个有理数的话，周长就是一个无理数； 如果周长是一个有理数，直径就是无理数。
因为周长和直径中至少有一个是无理数(可能两个都是无理数)， 所以和前面的有理数相除的定理就不矛盾了。
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2022-04-09
