极限求值方法总结

2024-02-08 00:38:21   文档大全网     [ 字体: ] [ 阅读: ]

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求极限方法总结 1 四则运算

limf(x)A,limg(x)BAB为常数)则

p

p

lim[f(x)g(x)]limf(x)limg(x)AB

p

p

p

lim[f(x)g(x)]limf(x)limg(x)AB

p

p

p

f(x)Af(x)limp

lim(B0) pg(x)limg(x)B

p

1

lim(x32x3).

x2

: lim(x2x3)limxlim(2x)lim322237

x2

x2

x2

x2

333

2 约去零因子法

当分子极限limp(x)p(x0)0时,即当xx0时,分式

xx0

P(x)

的分子、分母的极Q(x)

限均为0(称此式

0

型不定式)时,多项式P(x)Q(x)必有公因子(xx0),故在求0

P(x)

时,分子分母可以先约去(xx0),再求极限。

xx0Q(x)lim

2.

lim

x3

x3

x29

x3

解:lim

x3x311

limlim x29x3x3x3x3x36

3 同除以最高次幂

x时,分子与分母都是无穷大,故不能直接应用商的极限运算法则。将分子分母同除以x的最高次幂,此时分子、分母都有极限存在,且分母极限不为零。

5x2x1

3 lim3

x2x3x2

511lim51123x5x2x1xx2x30xxxlim0 解:lim3

x2x3x2x32322223lim223

xxxxx


推论

a0xna1xn1limm

xbxbxm101a0xna1xn1an1xan

limm

xbxbxm1bm1xbm01

0,mn



an1xana0

,mn

bm1xbmb0

,mn

4、等价无穷小代换

x0时,有下面一些常用的等价无穷小

sinxx1cosx

12

x1x12x

tanx2

x

arcsinx

xarctanx~xex1~xln1x~x tan3x



x0sin5x

4 lim

解:因为当x0时,tan3x5、两个重要极限 5lim解:lim

3xsin5x5x,所以lim

tan3x3x3

lim.

x0sin5xx05x5

tanx



x0x

tanxsinx1sinx1

limlimlim1 x0

x0x0x0cosxxxcosxx

x

1

1

5.1 lim1e lim1xxe

xx

x

2

6 lim1

x

x

12

解:lim1lim1

xxxx

2

2x

x

42

x

21

lim1e4 xx

2

4

2x


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