极限求值方法总结

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求极限方法总结 1、 四则运算

设limf(x)A,limg(x)B（A、B为常数）则

p

p

lim[f(x)g(x)]limf(x)limg(x)AB；

p

p

p

lim[f(x)g(x)]limf(x)limg(x)AB；

p

p

p

f(x)Af(x)limp

lim(B0) pg(x)limg(x)B

p

例1

lim(x32x3).

x2

解: lim(x2x3)limxlim(2x)lim322237

x2

x2

x2

x2

333

2、 约去零因子法

当分子极限limp(x)p(x0)0时，即当xx0时，分式

xx0

P(x)

的分子、分母的极Q(x)

限均为0（称此式

0

型不定式）时，多项式P(x)与Q(x)必有公因子(xx0)，故在求0

P(x)

时，分子分母可以先约去(xx0)，再求极限。

xx0Q(x)lim

例2.

lim

x3

x3

x29

x3

解：lim

x3x311

limlim x29x3x3x3x3x36

3、 同除以最高次幂

当x时，分子与分母都是无穷大，故不能直接应用商的极限运算法则。将分子分母同除以x的最高次幂，此时分子、分母都有极限存在，且分母极限不为零。

5x2x1

例3 lim3

x2x3x2

511lim51123x5x2x1xx2x30xxxlim0 解：lim3

x2x3x2x32322223lim223

xxxxx


推论

a0xna1xn1limm

xbxbxm101a0xna1xn1an1xan

limm

xbxbxm1bm1xbm01

0,mn



an1xana0

,mn

bm1xbmb0

,mn

4、等价无穷小代换

当x0时，有下面一些常用的等价无穷小

sinxx；1cosx

12

x；1x12x

；tanx2

x；

arcsinx

x；arctanx~x；ex1~x；ln1x~x tan3x



x0sin5x

例4、 lim

解：因为当x0时，tan3x5、两个重要极限 例5、lim解：lim

3x，sin5x5x，所以lim

tan3x3x3

lim.

x0sin5xx05x5

tanx



x0x

tanxsinx1sinx1

limlimlim1 x0

x0x0x0cosxxxcosxx

x

1

1

5.1 lim1e型 lim1xxe

xx

x

2

例6 lim1

x

x

12

解：lim1lim1

xxxx

2

2x

x

42

x

21

lim1e4 xx

2

4

2x

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