正方形对称性探究题

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一、自主学习

1．如图，在正方形ABCD中，F是对角线AC上任一点，BF⊥EF,求证：BF=EF.

D

F

E

C

A

B





分析：

两种辅助线：连结DF；过点F作AD、AB的垂线，

延伸分析：作辅助线的原因，图中的全等三角形及相等的线段、相等的角，点出正方形的轴对称性。（板书，作为本节课基本图形，并写出相等的线段、相等的角、全等三角形） 课堂活动：自主学习，无小组活动，2号直接讲解。 二、延伸练习

2．如图，在正方形ABCD中，E是DB延长线上的一点，且∠ECB=15°.求证：EC=BD

A

D

G

BE

C



分析：连结AE，构造等边三角形的原因，书写规范解题过程。

课堂活动：自主思考，小组学习，3号讲解，同桌之间纠正解题过程规范。 三、梯度练习

3．正方形ABCD中，点O是对角线DB的中点，点P是DB所在直线上的一个动点，PE⊥BC于E，PF⊥DC于F．

（1）当点P与点O重合时（如图①），猜测AP与EF的数量及位置关系，并证明你的结论； （2）当点P在线段DB上（不与点D、O、B重合）时（如图②），探究（1）中的结论是否成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请说明理由；

（3）当点P在DB的长延长线上时，请将图③补充完整，并判断（1）中的结论是否成立？若成立，直接写出结论；若不成立，请写出相应的结论．



自主完成（1）（2），作为本节课堂检测，小组间4→1,2→3互相评价并讲解。 小组讨论完成（3），1号或2号同学到黑板作图并完成讲解。

四、课堂延伸

4．如图1，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点E与正方形ABCD的顶点A重合，三角扳的一边交CD于点F．另一边交CB的延长线于点G．




（1）求证：EF=EG；

（2）如图2，移动三角板，使顶点E始终在正方形ABCD的对角线AC上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明：若不成立．请说明理由：

视情况作为本节作业或巩固练习。

本节反思：正方形对角线是重要的对称轴，利用轴对称性作辅助线，构造全等三角形证明线段相等或角相等。

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