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学习必备 精品知识点
有理数及其运算知识总结
一、重点知识归纳及讲解 1、正数和负数的概念
比0大的数叫做正数；在正数前面加上“－”号的数叫做负数；0既不是正数，也不是负数. 为了突出数的符号，可以在正数前面加“＋”号，一般地“＋”号往往省略不写，但负数前面的“－”号不能省略.
对于正数和负数的概念，不能简单地理解为：带“＋”号的数是正数，带“－”号的数是负数.
2、有理数的概念及分类
整数和分数统称为有理数：正数、负数和零也统称为有理数．整数包括正整数、零和负整数、分数包括正分数和负分数；正数包括正整数和负整数；负整数包括负整数和负分数．
到目前为止，我们学过的数细分有五类：正整数、正分数、零、负整数、负分数，因为有限小数和无限循环小数可以化为分数，所以把有限小数和无限循环小数都看作分数．有时为了研究的需要，整数也可以看作是分母为 1的分数，但本章中的分数是指不包括分母是1的分数.
通常把正整数和零统为非负数；负数和零统称为非正数；正整数和零统称为非负整数，即为自然数；负整数和零统称为非正整数.
3、数轴的概念及画法
规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴.
数轴的概念中包含有三层含义：一是说数轴是一条直线，可以向两端无限延伸；二是说数轴具有原点，正方向和单位长度三要素，三者缺一不可；三是说数轴原点的选定，正方向的取向、单位长度大小的确定，是根据实际需要规定的. 画数轴的步骤：
（1）画一条直线，一般画成水平的直线；
（2）在直线上选取一点为原点，用实心点表示，在原点下边标上0； （3）用箭头表示正方向，一般规定向右为正；
（4）选取适当的长度为单位长度，用细短线画出，并在下边标上对应的数. 4、相反数的概念
如果两个数只有符号不同，那么称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数，特别地，0的相反数是0.
在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，且与原点的距离相等，这就是相反数的几何意义.
一般地，数a的相反数是－a，这里a表示任意一个数，可以是正数、负数或零，还可以代表任意一个代数式，表示或求一个数的相反数，只要在这个数的前面添上一个“－”号就可以了.
相反数是成对出现的，不能单独存在，单独的一个数不能说是相反数；不能理解为只要符号不同
的两个数就互为相反数，只有符合不同的两个数是说除了符号不同以外完全相同. 5、绝对值的概念 在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值，数a的绝对值记作“|a|”. 正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0，这就是绝对值的代数意义，也可表示为：
6、绝对值的有关性质
（1）对任意有理数a，都有|a|≥0； （2）若|a|=0，则a=0； （3）若|a|=|b|，则a=b或a=－b； （4）若|a|=b（b>0），则a=±b；
（5）若|a|＋|b|=0，则a=0且b=0； （6）对任意有理数a，都有|a|=|－a|. 7、有理数大小的比较法则
在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大； 正数都大于 0，负数都小于0，正数大于一切负数； 两个负数，绝对值大的反而小 .
8、有理数加法法则
同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加 .
异号两数相加，绝对值相等时和为 0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并把较大的绝对值减去较小的绝对值.
一个数同 0相加，仍得这个数.
9、有理数加法运算律 加法交换律： a＋b=b＋a
加法结合律： (a＋b)＋c=a＋(b＋c)
10、有理数减法法则
对于有理数的加减混合运算中的减法，可以根据有理数减法法则将减法转化为加法。 减去一个数，等于加上这个数的相反数，即： a－b=a＋(－b).
11、代数和的意义
几个正数或负数的和叫做代数和，代数和一般用省略加号、括号的和的形式来表示，代数和不仅表示有理数相加的结果，而且还可表示加法运算.
12、有理数加减混合运算步骤
（1）把加减混合运算统一成加法； （2）写成省略加号、括号的代数和； （3）利用加法法则及运算律进行计算. 13、有理数乘法法则
两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘，任何数同零相乘都得0． 14、多个非零因数相乘，积的符号规律
n个不等于零的有理数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数的个数为偶数个时，积为正．
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n个数相乘，有一个因数为0，积就为0．
15、有理数乘法的运算律
(1)交换律：两个因数相乘，交换因数的位置，积不变．即a·b＝b·a；
(2)结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变，即(a·b)·c＝a·(b·c)；
(3)分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两数相乘，再把所得的积相加．即a(b＋c)＝ab＋ac．
16、倒数的概念
乘积为1的两个有理数互为倒数.即当a·b＝1时，a与b互为倒数． 由于任何一个有理数与0的积为0，不可能是1，所以0没有倒数.
倒数还可以说成是：1除以一个数(除数不等于0)的商叫做这个数的倒数，如a≠0，a的倒数为1a
． 17、有理数的除法法则
除以一个数等于乘以这个数的倒数．
两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除，0除以任何一个不等于0的数都得0． 18、利用除法化简分数
除法可以写成几种不同的形式，例如： 6÷3可以写成
6
3
，还可写成6∶3. 说明除法可以表示成分数和比的形式;反过来,分数和比可化为除法,由于除法、分数和比可以互化，所以可以利用除法化简分数.
19、乘方的概念
求几个相同因数的积的运算，叫做乘方，即
在an中，a叫做底数，n叫做指数，an
叫做幂．
an的读法有两种：
(1)读作a的n次幂． (2)读作a的n次方． 20、有理数的乘方法则
正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数． 21、科学记数法
把一个大于10的数记成a10n
的形式，其中a的整数位数只有一位，这种记数的方法，叫做科学记数法．
22、有理数的混合运算
有理数的运算中，加减为一级运算，乘除为二级运算，乘方（及开方——乘方的逆运算，以后将
讲到）为三级运算.对于有理数的混合运算，要特别注意运算顺序及正确使用符号法则确定各步运算结果的符号.
有理数的运算顺序是：先算乘方，再算乘除，最后算加减，对于同级运算，一般从左到右依次进行.如果有括号，就先算括号内的，且一般先算小括号内的，再算中括号内的，最后算大括号内的.如果能利用运算律简化计算，可变更上面的运算顺序，灵活处理. 二、难点知识剖析
1、负数的产生及其意义
正数和负数通常表示具有相反意义的量，若正数表示某种意义的量，则负数就表示其相反意义的量，反之亦然 .
2、数集的概念
把一些数放在一起，就组成一个数的集合，简称数集、所有的有理数组成的数集叫做有理数集，类似地，所有整数组成的数集叫做整数集，所有正数组成的数集叫做正数集，所有负数组成的数集叫做负数集，等等 .
3、多重符号的化简规律
单独一个有理数前面的“＋”号和“－”号，一般都是性质符号，读作“正”号或“负”号 . 括号前是“＋”号时，去掉括号和“＋”号后，括号内的数不变，括号前是“－”号时，去掉括号和“－”号后，括号内的数就变成它的相反数 .
在一个数的前面添加一个“＋”号，仍然与原数相同；在一个数的前面添加一个“－”号，就成为原数的相反数 .
4、两个负有理数的大小比较
两个负有理数的大小比较与其它数一样，可以利用数轴找准两个负有理数在数轴上的对应点，右边的数总比左边的数大 .
两个负有理数的大小比较，还可以利用绝对值，求这两个数的绝对值，比较两个数绝对值的大小，绝对值大的反而小 .
5、有关绝对值的计算及化简
灵活正确运用绝对值的代数意义及有关性质 .
6、积的符号的确定方法
有理数乘法与算术中的乘法的区别在于积的符号.几个正数与负数相乘时积的符号法则：几个不等于0的有理数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个数，积为负；当负因数有偶数个数，积为正；几个数相乘，有一个因数为0，积为0，根据积的符号法则，在有理数乘法中，不管有多少个不为0的数相乘，都应该首先根据负因数的个数一次性地先确定积的符号，这样做的好处是既简练又准确.
7、几个非0的有理数相除，商的符号的确定
几个非0的有理数相除，商的符号由负数的个数决定：当负数的个数为奇数时，商为负；当负数的个数为偶数时，商为正．
8、有理数混合运算中应注意的问题 （1）要注意运算顺序；
（2）要灵活运用运算定律进行简便运算，不要搞错符号，特别是乘方的符号； （3）要灵活进行小数、分数的互化；
（4）互为相反数的和，互为倒数的积，有因数为零，特殊运算先行结合.
本文来源：https://www.wddqxz.cn/62583deda68da0116c175f0e7cd184254b351bff.html
2023-03-31
