平面向量知识点归纳

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平面向量

一．向量有关概念：

1．向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。如：

2．零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的；

uuuruuur

AB3．单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB共线的单位向量是uuur

4．相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；

)；

|AB|

5．平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a、b叫做平行向量，记作：a∥b，规定零向量和任何向量平

行。 提醒：

①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；

②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；

r

③平行向量无传递性！（因为有0)；

uuuruuur

AC共线； ④三点A、B、C共线AB、

rruuuruuurrr

下列命题：（1）若ab，则ab。（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。（3）若ABDC，则ABCD

rrrrrrrruuuruuurrrrr

是平行四边形。（4）若ABCD是平行四边形，则ABDC。（5）若ab,bc，则ac。（6）若a//b,b//c，则a//c。

其中正确的是_______（答：（4）（5）） 二．向量的表示方法：

6．相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a的相反向量是－a。如

AB，注意起点在前，终点在后；

2．符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a，b，c等；

1．几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如

3．坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x轴、

rrr

表示为axiyjx,y，称x,y为向量a的坐标，a＝x,y叫做向量a的坐标表示。如果向量的起点在原点，那

y轴方向相同的两个单位向量i

，

j为基底，则平面内的任一向量a可

么向量的坐标与向量的终点坐标相同。

三．平面向量的基本定理：如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a，有且只有一对实数1、

2，使a=1e＋2e。如

1

2

（1）若a(1,1),b

rr

rr1r3r(1,1),c(1,2)，则c______（答：ab）；

22

（2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是

uruururuur

e(0,0),e(1,2)e(1,2),e A. 1 B. 122(5,7) uruururuur13 C. e1(3,5),e2(6,10) D. e1(2,3),e2(,)

24

rruuuruuuruuurruuurruuur

（3）已知AD,BE分别是ABC的边BC,AC上的中线,且ADa,BEb,则BC可用向量a,b表示为_____（答：

2r4r

； ab）

33

（4）已知ABC中，点D在BC边上，且CD



（答：B）；

2DB，CDrABsAC，则rs的值是___

（答：0）



rr

四．实数与向量的积：实数与向量a的积是一个向量，记作a，它的长度和方向规定如下：1aa,2当>0

rr

时，a的方向与a的方向相同，当<0时，a的方向与a的方向相反，当＝0时，a0，注意：a≠0。

五．平面向量的数量积：

uuurruuurr

1．两个向量的夹角：对于非零向量a，b，作OAa,OBb，AOB

0称为向量a，b的夹角，当＝0时，a，b同向，当＝时，a，b反向，当＝



时，a，b垂直。 2


rr

2．平面向量的数量积：如果两个非零向量a，b，它们的夹角为，我们把数量|a||b|cos叫做a与b的数量积（或内

rr

积或点积），记作：a•b，即a•b＝abcos。规定：零向量与任一向量的数量积是0，注意数量积是一个实数，不再是

一个向量。如

rrrurrrru1r1rr

（1）已知a(1,),b(0,),cakb,dab，c与d的夹角为，则k等于____

224

rrrrrr

（2）已知a2,b5,agb3，则ab等于____

（答：1）；

rrrrrr（3）已知a,b是两个非零向量，且ababrrr

，则a与ab的夹角为____

（答：

23）；

r

3．b在a上的投影为|b|cos，它是一个实数，但不一定大于0。如

（答：30）

o

12

a|3，|b|5，且ab12，则向量a在向量b上的投影为______（答：）

5

r

4．a•b的几何意义：数量积a•b等于a的模|a|与b在a上的投影的积。

已知|







5．向量数量积的性质：设两个非零向量a，b，其夹角为，则：

r2rrr2rr2

②当a，b同向时，a•b＝，特别地，aa•aa,aa

rr

rrrra•b

非零向量a，b夹角的计算公式：cosrr；④|a•b||a||b|。如

ab

（1）已知a





rrrr

①aba•b0；

rrab

；当a与b反向时，a•b＝－

rrab

；③

(,2)，b(3,2)，如果a与b的夹角为锐角，则的取值范围是______

（答：





41或0且）； 33

六．向量的运算：

1．几何运算：

①向量加法：利用“平行四边形法则”进行，但“平行四边形法则”只适用于不共线的向量，如此之外，向量加法还可利用“三

uuurrruuuruuuruuuruuurruuurrrr

角形法则”：设ABa,BCb，那么向量AC叫做a与b的和，即abABBCAC；

uuurruuurrrruuuruuuruuur

②向量的减法：用“三角形法则”：设ABa,ACb,那么abABACCA，由减向量的终点指向被减向量的

终点。注意：此处减向量与被减向量的起点相同。如

uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur

（1）化简：①ABBCCD___；②ABADDC____；③(ABCD)(ACBD)_____

uuurruuurruuurrrrr

（2）若正方形ABCD的边长为1，ABa,BCb,ACc，则|abc|＝_____

uuuruuurr

（答：①AD；②CB；③0）；

（答：2

rr

2．坐标运算：设a(x1,y1),b(x2,y2)，则：

rr

①向量的加减法运算：ab(x1x2，y1y2)。如

线上

2）；

uuuruuuruuur

（1）已知点A(2,3),B(5,4)，C(7,10)，若APABAC(R)，则当＝____时，点P在第一、三象限的角平分

（答：

uuruuruururuuruuruur

（2）已知作用在点A(1,1)的三个力F1(3,4),F2(2,5),F3(3,1)，则合力FF1F2F3的终点坐标是

1）； 2

（答：（9,1））

r

②实数与向量的积：ax1,y1x1,y1。

uuur

③若A(x1,y1),B(x2,y2)，则ABx2x1,y2y1，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。如

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